截面法设一空间立体占有如图闭区域其密度函数为则该立体的质量将向轴投影得区间这样立体的质量就可视为面密度为的细棒的质量故有截面法故有截面法故有视具体情况可进一步化为三次积分.特别地当仅是的表达式而的面积又易计算时可使用这种方法.例如设截面法特别地当仅是的表达式而的面积又易计算时可使用这种方法.例如设截面法特别地当仅是的表达式而的面积又易计算时可使用这种方法.例如设注:类似地也可以考虑其它积分次序的情

例16求其中解因为 关于 轴和 轴对称且于 为偶函数注:则要繁琐很多.完若直接在 上求二重积分关于 或关

2.求由曲线与直线及所围成的图形绕旋转一周所生成的旋转体的体积 .解画出草图选为积分变量体积微元为所求体积为旋转绕2.求由曲线与直线及所围成的图形绕旋转一周所生成的旋转体的体积 .解所求体积为2.求由曲线与直线及所围成的图形绕旋转一周所生成的旋转体的体积 .解所求体积为完

2.解完求其中是以为顶点的三角形 .无法用初等函数表示积分时必须考虑次序

单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级目录 上页 下页 返回 结束 三二重积分的换元法 第二节一利用直角坐标计算二重积分 二利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 且在D上连续时 由曲顶柱体体积的计算可知 若D为 X - 型区域 则若D为Y - 型区域则一利用直角坐标计算二重积分当被积函数均非负在D上变号时因此上面讨论的累

例2计算其中 是由直线和 所围成的闭区域.解如图既是 型又是 型.若视为型则原积分例2计算其中 是由直线和 所围成的闭区域.解若视为型则原积分例2计算其中 是由直线和 所围成的闭区域.解若视为型则原积分若视为型则分次序对重积分的计算非常重要.故合理选择积其中关于的积分计算比较麻烦完

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级一三重积分的定义直角坐标系中将三重积分化为三次积分．二三重积分的计算如图得注意解解如图解解原式解如图三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素(计算时将三重积分化为三次积分)三小结思考题选择题:练 习 题练习题答案

例9计算其中积分区域解如图积分域关于三个坐标面都对称被积函所以完的奇函数数是

例9解求设如图在上规定:当时则由定积分性质得:完

三重积分的定义第三节 三重积分的计算法一直角坐标三重积分记为直角坐标系中将三重积分化为三次积分．如图过点作平行z轴的直线穿过 穿入点在曲面上穿出点在曲面上即上对z积分结果是先固定xy在xy的函数先对z次对y最后对x的三次积分.注意同理若用平行x轴且穿过 内部的直线与 的边界曲面交点不多于两个则可先对x积分此时将 投影到yoz平面的投影域 以

例1求解被积函数中含有在积分表(一)中查得公式(7)这里完

2.求由曲线及直线所围成的平面图形的面积 .解如图与先求出曲线交点的纵坐标 解方程组得(舍去)面积微元:所求面积为完

例2计算其中 是由直线和 所围成的闭区域.解如图既是 型又是 型.若视为型则原积分例2计算其中 是由直线和 所围成的闭区域.解若视为型则原积分例2计算其中 是由直线和 所围成的闭区域.解若视为型则原积分若视为型则分次序对重积分的计算非常重要.故合理选择积其中关于的积分计算比较麻烦完

例13求解因为在上在上所以应分两个区间进行积分于是例13求解因为在上在上所以应分两个区间进行积分于是例13求解因为在上在上所以应分两个区间进行积分于是完

内容小结1. 利用极坐标计算二重积分其中面积微元2. 一般曲线坐标系中的变换公式其中为雅克比行列式内容小结2. 一般曲线坐标系中的变换公式其中为雅克比行列式内容小结2. 一般曲线坐标系中的变换公式其中为雅克比行列式3. 平面薄片的重心4. 平面薄片的转动惯量5. 平面薄片对质点的引力完

例4积分有怎样的符号其中解解解完

例9解求设如图在上规定:当时则由定积分性质得:完

例4解而在上式两端从 0 到逐项积分得因为上式右端的幂级数当将函数展成的幂级数.因为上式对也成立.时收敛在而上式左端的函数处有定义且连续.完

§2 牛顿—莱布尼茨公式 用定义来计算定积分一般是很困难的下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来定理 若函数 在上连续且存在原函数则在上可积且这即为牛顿—莱布尼茨公式也常记为 证 给定任意一个分割： 这里 用了Lagrange 中值定理 由Cantor 定理 在一致连续 所以 只要 就有 于是当 时对

例10证明其中 均为常数且证等式左端二次积分的积分限:可改写为所以例10证明其中 均为常数且证所以例10证明其中 均为常数且证所以完