y从图可看出凹的曲线 定理 设函数 在区间[ab]内具有二阶导数 拐点1 2曲线的渐近线可分为水平铅直和斜渐近线解 因为是曲线的一条水平渐近线 y (2) 确定曲线的对称性拐(6) 作图如右图
一、曲线的凹凸性与拐点第三章 导数的应用第四节 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘二、函数图形的描绘如图所示,凡呈凸形的弧段, 当自变量 x 由 x1 增大到 x2 时, 其上的切线斜率是递减的(如图(a)左,(b)左),凡呈凹形的弧段,当 x 由 x1 增大到 x2 时,其上的切线斜率是递增的(如图(a)右,(b)右), 我们将以这个明显的几何特征
高等数学 如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的上方则称此曲线在该区间内是凸的(或称下凹).x例21确定函数的定义域不存在1. 可导函数单调性判别2. 练 习 题
一函数的单调性2.单调区间求法单调区间为定义(是极值点情形)图形如下注意:函数的不可导点也可能是函数的极值点.定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点(2)凹凸性已知例如第二步例3拐点列表确定函数升降区间 凹凸区间及极值点与拐点: 3. 曲线的弯曲方向——凹凸性凹凸性的判定.最大值思考题思考题解答y分析:如右图示 演员的表演分三个阶段完成:自由落体 碰撞 平抛.
1一、单调性的判别法三、小结及作业2一、单调性的判别法定理3证应用拉氏定理,得45例2解注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.6(2)函数在整个定义域上不一定是单调的,但在不同的区间上具有单调性,且改变单调性的点只可能是的 点及导数不存在的点.7)(4)区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性例如,(3)讨论函数单
1一、单调性的判别法三、小结2一、单调性的判别法定理3证应用拉氏定理,得45例2解注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.6(2)函数在整个定义域上不一定是单调的,但在不同的区间上具有单调性,且改变单调性的点只可能是的 点及导数不存在的点.7(4)区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性例如,(3)讨论函数单调性的步
一、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线第3节 曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘三、函数图形的描绘下一页上一页返回 如图所示,曲线弧ABC部分是向下弯曲的,这时曲线位于切线的下方;而曲线弧CDE部分是向上弯曲的,曲线位于切线的上方. 一、曲线的凹凸性与拐点下一页上一页返回定义如果曲线弧总是位于其任一点切线的上方,则称这条曲线弧是凹的;如果曲线弧总是位于其任一点切线的下方,则称这条
图形上任意弧段位于所张弦的下方例1定理11(拐点的充分条件):解
D 证明 由假设 注意:因此(00)不是这曲线的拐点 当曲线在例6 设 在 是拐点 x(3)斜渐近线 (5) (2)第二行y在相应的区间判断正负在分界点写出相 应的导数值的图形 所以该曲线既无水平渐近线1极大 的图形 -的图形
函数图形的描绘曲线的渐近线曲线的凹凸性与拐点44节曲线的凹凸性及函数作图 小结一、曲线的凹凸性与拐点 前面我们已经讨论过函数的单调性,几何上它反映的和的图形在区间上都是单调增加的,但是明显弯曲方向不同 是函数图形的升降情况.但在研究函数图形时,只知道这些是不够的.例如,函数为了更好的研究函数图形,我们有必要讨论曲线的凹凸性问题.如果在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方,则称曲线在该区间
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