南京大学2006年数学分析考研试题一 计算下列各题1 求2 求3 设求4 设且求5 设求二 设在上二次可导且试证明:三 设为参数讨论方程在内有几个实根并指出实根的范围四 设试证明级数绝对收敛并求级数之和五 设为椭球面的上半部为上的外单位法向量计算曲面积分六 试求函数项级数和的收敛域(绝对收敛或条件收敛)并讨论它们在收敛域内的一致收敛性七 设在上二阶可导且当时试证明: (1)对任意 (2)
1 求.解 解法1 利用几何平均与算术平均不等式及.解法2 利用Stolz定理原式 .2 求.解 利用Stolz定理原式.3 求.解 .4 设求.解 原式5当时证明:.证明 当时于是 故有.南京大学2005年数学分析考研试题一 求下列极限1 设常数试求极限2 3 设求二 设试讨论的连续性一致连续性及其可微性三 设研究
南京大学2004年数学分析考研试题求下列极限设求设求.确定最小正数使下面的不等式成立:.设求并证明级数收敛.求其中是的上半球的下侧.设当时求并讨论在的一致收敛性证明:对任一自然数方程在内有且仅有一个根若是的根求.设证明 在上有界证明.南京大学2004年数学分析考研试题解答一.1. 解 显然所以解 .解 因为 所以.解 设在点的某个邻域内连续
南京大学2007年数学分析考研试题一(30分)举例1举一个极限点(凝聚点)在区间上稠密的可数集.2举一个有振动间断点的函数.3举一个连续但不是一致连续的函数.4举一个可逆的可微函数其逆函数不可微.5举一个非零的可微函数它在某一点的任意阶导数均为零.6举一个Riemann不可积的函数.7举一个非负函数它在上积分收敛但极限不存在.8举一个在上定义的二元函数它分别对于变量连续但不是连续的二元函数.
设函数在上有定义对所有有且收敛求证:证明 使得由对上述固定的因而存在当时有 于是 即 设在上有定义对任意在上可积且收敛试证:证明 由推广的黎曼引理对任意有 对任意存在有 对上述及固定的当时有 于是故结论得证北京大学2005年数学分析考研试题及解答1 设试求和解 首先我们注意到在的时候是单调
南开大学2006年数学分析考研试题及解答 求极限.设试证.设在上有界可积求证存在使得.若幂级数在内收敛于设满足和则对所有.设函数在有任意阶导数且导数数列在一致收敛于求证.设在球上连续令求证.设在全空间上具有连续的偏导数且关于都是周期的即对任意点成立则对任意实数有这里是单位方体.设为三阶实对称方阵定义函数求证在条件下的最大值为矩阵的最大特征值.(1)设数列满足定义集合为整数集为自然数集求证对任
南京大学2010年数学分析考研试题设说明的收敛性并求极限.确定的值.计算积分.计算其中方向向外.设正项级数收敛证明级数收敛.设在上连续且在处可导证明.映射二阶连续可微且为n阶单位方阵证明:可逆且逆映射光滑其中为的梯度.设函数在上连续在一个可数集之外可导且导数非负证明.设在上二阶可导证明:存在使得.南京大学2010年数学分析考研试题解答解 方法一 显然 于
2007年北京大学数学分析考研试题及解答 例 设是的实根求证:且证明 (1)任意当时有当且充分大时有所以的根存在又严格递增所以根唯一任意所以的根()因为若时的根不趋向于则存在使得中含有的一个无穷子列从而存在收敛子列(为某有限数)矛盾例 设讨论级数的收敛性解 显然当时级数发散由 得(充分小)于是(充分大)当时收敛收敛收敛绝对收敛当时收敛收敛于是收敛从而收敛收敛而发散由得
南开大学2008年数学分析考研试题一.计算题1.求极限 2.求和 3.已知求4.设则5.设区域求 二.设证明数列收敛并求其极限三.设并且使证明使得.四.设在一致连续且广义积分收敛求证五.设在上可微对任意 其中任取实数证明级数收敛六.证明函数项级数(1)在上收敛但不一致收敛(2)和函数在上任意次可导七.作变换将方程变换为关于自变量方程八.求由曲面将球体分成两部分的体积之比九设是上具有二阶连续导
南开大学2005年数学分析考研试题计算二重积分其中.设为由方程组确定的隐函数求.求极限.求证在上连续.判断级数的敛散性.设函数在上连续可导且求证在上一致收敛设求证在上连续可导.设在全平面上有连续的偏导数并且对任何一个圆周有求证.设在上两次可导并且对任何有.设求证求证存在使得(3)求证.设和在区间内有定义对任何有 求证:(1)在内左导数右导数存在 (2)对任意(3) 在内连续南开大学2005
违法有害信息,请在下方选择原因提交举报