2006南京大学数学分析 : : :
南京大学2003年数学分析下列极限设,求;设,求;过p(1,0)点作抛物线,求:切线方程;由抛物线、切线及x轴所围成的平面图形面积;该平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周的体积。对任一求在(0,1)中最大值,并证明该最大值对任一 均小于任一。设f(x)在上有连续导数,且,试证:f(x)在内仅有一个零点。计算下列积分设,求,其中S为上半球面的外侧。设在上(R)可积求,并讨论在上的一致收敛性;求(要说明
南开大学20061.(15分)求极限 2.(15分)设 试证:3.(15分)设在上有界可积求证存在使得4.(15分)若幂级数在内收敛于设满足 和则对所有5.(15分)设函数在有任意阶导数且导数函数列在 一致收敛于求证6.(15分)设在球上连续 求证 7.(15分)设在全空间上具有连续的偏导数且关于都是1
北京大学2005 数学专业研究生数学分析设,试求和解: 当然此上极限可以令此下极限当然可以令(1)设在开区间可微,且在有界。证明在一致连续证明:由存在这显然就是(2) 设在开区间可微且一致连续,试问在是否一定有界。(若肯定回答,请证明;若否定回答,举例说明)证明:否定回答闭区间上连续函数一致连续所以显然此而3.设(1)求的麦克劳林展开式。(2)求。解: 这道题目要是直接展开是很麻烦的先对原式做
南京大学2003年数学分析下列极限设,求;设,求; 注意这一条非常有用过p(1,0)点作抛物线的切线,求:切线方程;由抛物线、切线及x轴所围成的平面图形面积;该平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周的体积。解:1)2)对任一求在(0,1)中最大值,并证明该最大值对任一 均小于任一。解:本题比较基本设f(x)在上有连续导数,且,试证:f(x)在内仅有一个零点。证明:本题其实可以加强的,不需要f(0)0,
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南京大学2006年数学分析考研试题一 计算下列各题1 求2 求3 设求4 设且求5 设求二 设在上二次可导且试证明:三 设为参数讨论方程在内有几个实根并指出实根的范围四 设试证明级数绝对收敛并求级数之和五 设为椭球面的上半部为上的外单位法向量计算曲面积分六 试求函数项级数和的收敛域(绝对收敛或条件收敛)并讨论它们在收敛域内的一致收敛性七 设在上二阶可导且当时试证明: (1)对任意 (2)
2004年南开大学数学分析试题答案1. 2. =3.即证明即证设证完4.=== 5.设P=Q=积分与路径无关则6. 又当时收敛当时级数发散原题得证7.由拉格朗日定理其中原题得证8.(1)应用数学归纳法当时命题成立若当时命题也成立则当时由归纳假设连续(2)(3)由单调递减趋于与都连续由地尼定理该收敛为一致收敛9.(1)证明:取代入式中得即所以函数单调递增有下界从而存在右极限则由题设可得即从而所以导函
北京大学2005 数学专业研究生 数学分析设试求和.解: 当然此上极限可以令.此下极限当然可以令(1)设在开区间可微且在有界证明在一致连续.证明:由存在.这显然就是(2) 设在开区间可微且一致连续试问在是否一定有界(若肯定回答请证明若否定回答举例说明)证明:否定回答.闭区间上连续函数一致连续.所以显然此而3.设. (1)求的麦克劳
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