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二、方向导数第六节 方向导数与梯度一、问题的提出三、梯度的概念二、方向导数实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行.一、问题
单击此处编辑母版标题样式 §8.7 方向导数与梯度一方向导数二梯度方向导数与偏导数的关系三元函数的方向导数梯度与方向导数梯度的模方向导数的最大值等高线梯度与等高线的关系三元函数的梯度等量面数量场与向量场势与势场一方向导数 设函数z?f (xy)在点P (xy)的某一邻域U(P)内有定义.自点P引射线 l .设 x 轴正向到射线 l 的转角为j 并设P ?(x??xy??y) 为 l
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 第一节 预备知识 第二节 极限与连续 第三节 偏导数与全微分 第四节 微分运算法则 第五节 方向导数与梯度 第六节 多元函数微分学的几何应用 第七节 多元函数的Taylor公式与极值 第八节 n元m维向量值函数的微分法 第九节 复变函数的导数与解析函数 第五章 多元函数微分法及其应用xz y0 l??
记作 例1. 求函数 它在点 P 的切向量为同理得这说明记作处的梯度一 多元函数的极值 的某邻域内有取得极值 3) 当第二步 判别.在点(?32) 处在(00)点邻域内的取值为最小 值得驻点积最大. 故此点即为所求.例如 则问题等价于一元函数拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 要设计一个容量为圆周上求一点 C 使对应面积解方程组答案:设
单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 第九章 第七节一方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二梯度 三物理意义 方向导数与梯度一方向导数定义: 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.在点 处沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 定理:则函数在
一问题的提出同理沿y轴正向且有 两边同除以由方向导数的计算公式知故方向导数的计算公式是曲面x轴到梯度的转角的正切为 它在xoy面上投影方程:等值线上山时如何选择最快的方向由梯度计算公式得(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)模:思考题
上一页 首页 下一页的变化率其中求函数在原点的偏导数不存在解方向导数取到最大值:简称梯度故梯度矢量contourplot(x(x2y21)x=0..4y=-3..3contours=15thickness=3color=brown)梯度的几何解释并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面gradplot3d(x2yxzx=-2..2y=-2..2z=-2..2color=red)c
55方向导数定义3定理4例2
第九章 第三节一、方向导数 二、梯度方向导数与梯度定义:存在,则一、方向导数说明:定理:则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得故对于二元函数为?, ?) 的方向导数为特别:? 当 l 与 x 轴同向? 当 l 与 x 轴反向向角函数可微,方向导数存在,但方向导数存在推不出可微,也推不出偏导数存在例1 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量的方向导
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