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  §52 相似矩阵 一 矩阵的相似设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P?1AP=B, 则称矩阵A与B相似 记为A~B P为相似变换矩阵注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然 证明：§52 相似矩阵 第五章 特征值与特征向量 §52 相似矩阵 一 矩阵的相似设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P?1AP=B, 则称矩阵A与B相似 记为A~B P为相似变换矩阵注1: 相似

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  §3 相似矩阵一、相似矩阵的概念和性质二、相似矩阵的计算方法1一、定义定义设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ，则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵Ａ与Ｂ相似．称为对Ａ进行相似变换，可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．记作：Ａ∽Ｂ．二、性质（1） 反身性：（2） 对称性：（3） 传递性：Ａ∽Ａ；Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；2（4）Ａ∽Ｂ，则 （5）Ａ∽Ｂ，则 （6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆

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  矩阵的等价相似与合同1相似和合同都可以得到等价2对正交矩阵而言合同与相似等价3 相似矩阵的秩也是相等的 相似矩阵的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵p 使p-1ap====b就说ab相似 相互合同的矩阵的秩也相同 矩阵间合同的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵c 使：cTac==b就主ab合同 相似和合同都可以得到等价141. 矩阵的等价：经过六个初等变换的矩阵之间具有等价关系主要是指型和秩相同1 Q B

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  单击此处编辑母版标题样式定理1　对称矩阵的特征值为实数.证明一对称矩阵的性质　　说明：本节所提到的对称矩阵除非特别说明均指实对称矩阵．于是有两式相减得定理1的意义证明于是证明它们的重数依次为　　根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定理3( 如上)可得：设 的互不相等的特征值为由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交这样的特征向量共可得 个.故这 个单位特征向量两两正交.以它们为列向量

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  一实对称矩阵特征值的性质二实对称矩阵的相似理论4 作正交矩阵P使得P-1AP为对角阵16

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  第三节 相似矩阵与矩阵对角化第四章二、相似矩阵与相似变换的性质四、小结一、 相似矩阵与相似变换的概念三、 利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念1矩阵的相似是一种等价关系，具有性质：二、相似矩阵与相似变换的性质证明注意：该定理的逆定理并不成立，即具有相同特征多项式（或特征值）的两个矩阵并不一定相似但有相同特征值的两个矩阵若它们都可对角化，则它们相似例但证明三、利用相似变换将方阵对角化

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  §4实对称矩阵的相似矩阵 一、实对称矩阵的特征值的有关性质二、求正交矩阵的方法对称阵此时 A 称为实对称矩阵一、实对称矩阵的特征值的有关性质证明一、对称矩阵的性质　　说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,表示A的转置矩阵。性质1 实对称阵的特征值全为实数于是有两式相减，得定理1的意义证明推论：实对称矩阵必与对角矩阵相似。　　根据上述定理可得：由于不同特征值的特征向量正交，　　根

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  一、相似矩阵与相似变换的概念1等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质证明利用对角矩阵计算矩阵多项式证明证明三、利用相似变换将方阵对角化命题得证说明解解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系解解之得基础解系注意四、小结　　１．相似矩阵　 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了内介绍的以外，还有：２．相似变换与相似变换矩阵　　这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相

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  单击此处编辑母版标题样式线性代数教学课件单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 第二节 相似矩阵和矩阵对角化本节目的：利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法 41920221线性代数教学课件相似矩阵的定义定义3 已知矩阵 是两个 阶方阵如果存在一个满秩矩阵 使得 则称