函数极值的求法根据本章第一节的费马引理和极值的定义即得:定理1(必要条件)设在点处可导取得极值则定义使导数为零的点(即方程 的实根)且在处叫做函数 的驻点.注:可导函数 的极值点必定是它的驻点但函数的驻点却不一定是极值点.例如但 不是极值点.定理2(第一充分条件)邻域内连续并且可导设函数在点的某个(导数 也可
函数极值的求法根据本章第一节的费马引理和极值的定义,即得:定理1(必要条件)取得极值,定义注:但函数的驻点却不一定是极值点例如,定理2(第一充分条件)邻域内连续并且可导函数极值的求法定理2(第一充分条件)邻域内连续并且可导函数极值的求法定理2(第一充分条件)邻域内连续并且可导(1)(2)(3)证由极值的定义和定理的条件即可推得结果综上所述,可将求函数极值的步骤总结如下:函数极值的求法证由极值的定义
子空间定义例如,完
子空间定义例如,完
罗尔(Rolle)定理几何观察若函数在续在开区间内可导且在区间端点的函数值相等即则在内至少有一点使证在连续必存在最大值和最小值若则故都有若上连闭区间证在连续必存在最大值和最小值若则故都有若证在连续必存在最大值和最小值若则故都有若最值不可能同时在端点取得.不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点例
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函数极值的定义定义内的一个点.对于该邻域内的设函数在区间内有定义如果存在着点 的一个邻域任何点除了点 外均成立称是函数的一个极大值就对于该邻域内的如果存在着点 的一个邻域任何点除了点 外均成立称是函数的一个极小值就函数的极大值与极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点.完是
二阶线性微分方程解的定理定理1如果函数与是方程(1)的两个解则也是方程(1)的解其中是任意常数.证将(2)式代入方程(1)的左端有二阶线性微分方程解的定理二阶线性微分方程解的定理所以(2)式是方程(1)的解.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.注:将齐次线性方程(1)的两个解与按(2)式叠二阶线性微分方程解的定理注:将齐次线性方程(1)的两个解与按(2)式叠二阶线性微分方程解的定理注:将
最大值最小值的求法若函数 在 上连续除个别点外处处可导并且至多有有限个导数为零的点上的最大值与最小值存在.则 在步骤:1.求驻点和不可导点2.求区间端点驻点及不可导点的函数值比较大小哪个大哪个就是最大值小哪个就是最小值.哪个注意:如果区间内只有一个极值则这个极值就是(最大值或最小值).最值完
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