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第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程1推测:讨论:00234解56解78由第一种情形及 定理 4 的结论,对于此种类型,特解可设为:改写为如下形式:9解10解11解12第十二节 微分方程的幂级数解法 以这些常数为系数的级数(3)就是上面初值问题的解。一 、一阶线性微分方程13解 故设比较系数得于是所求解的幂级数展开式的开始几项为14二、 二阶齐次线性微分方程解满足定理的条件。15代入所给方程,并按 x 的升幂集项,然后比较系数得一般地由此可推得一般的于是所求的特解为16
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级练习一:写出下列方程的一个特解形式故特解形式为:即故特解形式为:故特解形式为:故特解形式为:故特解形式为:故特解形式为:故特解形式为:练习二
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1第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程小结思考题作业非齐次2方程对应齐次方程通解结构难点方法二阶常系数非齐次线性如何求非齐次方程特解?待定系数法3设非齐方程特解为求导代入原方程4综上讨论上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数)不是根是单根是重根5解对应齐次方程通解特征方程特征根例1(1) 求对应齐次方程的通解(2) 求非齐次方程的特解此题其中6代入方程, 得原方程通解为7代入
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也是它的解. 但这个解中只含有一个任意常数C 显然它不是所给方程的通解.定理. (二阶齐次线性方程通解的结构)时 方程有两个相异实根 ( u(x) 待定).这时原方程有两个复数解:(3) 根据特征方程根的不同情况 写出微分方 程的通解. 例3 求微分方程
86 二阶常系数线性齐次微分方程的解法齐次方程的通解公式应用举例小结将其代入方程, 得故有特征方程一、二阶常系数线性齐次微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的一般形式称为二阶常系数线性齐次微分方程特征根1有两个不相等的实根方程有两个线性无关的特解齐次方程的通解为特征根为2 有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为3 有一对共轭复根由定理81,所以齐次方程的实函数形式的通解为特征根为
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