复变函数与积分变换习题
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级§3.2 柯西积分定理与原函数一柯西定理及其推论1825年柯西证明了解析函数的积分与路径无关定理3.2 (Cauchy定理)设 f (z)在单连通域E内解析C为E内任一简单闭曲线则证明:在E内连续的条件下进行证明 只就令则 在E内连续有由 的偏导数在E
设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数分析C解y§6 解析函数的高阶导数一个解析函数的导数仍为解析函数
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级3.3 柯西积分公式1柯西积分公式: 我们可用柯西积分定理(复围线形式)导出一个用边界值表示解析函数的内部值的积分公式即:柯西积分公式定理1:设区域D的边界是围线(或复围线)连续则有(3.3.1)称为柯西积分公式证:图3.3.1应用柯西积分定理得 就有利用积分的性质得 因此所以即得: 注: 公式(3.3.1)也常写成(3.3.
一、柯西积分公式第三节 积分基本公式1说明:2345678二、解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各阶导数,它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数完全不同。一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区域上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了。 关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理。9101112131415复积分求法的小结:基本定理、复合闭路定理、
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级一原函数与不定积分第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质二不定积分的基本性质三不定积分的性质四不定积分的几何意义定义 1 设函数 y = f (x) 在某区间上有定义如果存在函数 F (x)对于该区间上任一点 x使F ?(x)= f (x) 或 dF(x) = f (x)dx 则称函数 F (x) 是已知函数 f (x)
第四节 原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题三、小结与思考2一、主要定理和定义定理一由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图)1 两个主要定理:34定理二证利用导数的定义来证5由于积分与路线无关,67由积分的估值性质,8此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似[证毕]92 原函数的定义:原函数之间的关系:证10那末它就有无穷多个原函数, 根据以
()二解析函数的高阶导数
第五节柯西积分公式一、柯西积分公式二、典型例题三、小结2一、柯西积分公式定理3关于柯西积分公式的说明:(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示(这是解析函数的又一特征)(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式(这是研究解析函数的有力工具)(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值4二、典型例题例1解56例2解由柯西积分
§33柯西积分公式一、柯西积分公式| 右边 - 左边 |则在边界 C 上连续, 则一、柯西积分公式定理如果函数 在区域 D 内解析,DdGC证明(思路)即只要 d 足够小,所证等式两边的差的模可以任意小,由于左边与右边均为常数,与 d 无关,故等式成立。在边界 C 上连续, 则一、柯西积分公式定理如果函数 在区域 D 内解析,DC意义 解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。 换句话说,解
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