矩阵的相似对角形二矩阵的特征值与特征向量:在求行列式时特别有用
第三节 相似矩阵与矩阵对角化第四章二、相似矩阵与相似变换的性质四、小结一、 相似矩阵与相似变换的概念三、 利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念1矩阵的相似是一种等价关系,具有性质:二、相似矩阵与相似变换的性质证明注意:该定理的逆定理并不成立,即具有相同特征多项式(或特征值)的两个矩阵并不一定相似但有相同特征值的两个矩阵若它们都可对角化,则它们相似例但证明三、利用相似变换将方阵对角化
单击此处编辑母版标题样式线性代数教学课件单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 第二节 相似矩阵和矩阵对角化本节目的:利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法 41920221线性代数教学课件相似矩阵的定义定义3 已知矩阵 是两个 阶方阵如果存在一个满秩矩阵 使得 则称
第三节 矩阵相似对角化A与B相似.A∽A相似(7)A∽B则设存在P可逆即推论的基础解系中的解向量是唯一的.
相似矩阵与矩阵可对角化的条件
§52 相似矩阵一相似矩阵?可逆阵P, stP?1AP =B 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然 相似是一等价关系, A~B, 则?多项式f(x),f(A) ~ f(B) 相似则特征多项式相同,但反之不然 不变量为特征值,迹,行列式,秩相似对角化下的最简形为? = diag(?1,?2,…,?n)注:不变量都只是必要条件,而非充要条件若A,B都可相似对角化,且特征多项式相同,则A,B相似 ?
注 解 由定理例如
一实对称矩阵特征值的性质二实对称矩阵的相似理论4 作正交矩阵P使得P-1AP为对角阵16
§4实对称矩阵的相似矩阵 一、实对称矩阵的特征值的有关性质二、求正交矩阵的方法对称阵此时 A 称为实对称矩阵一、实对称矩阵的特征值的有关性质证明一、对称矩阵的性质 说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说明,均指实对称矩阵,表示A的转置矩阵。性质1 实对称阵的特征值全为实数于是有两式相减,得定理1的意义证明推论:实对称矩阵必与对角矩阵相似。 根据上述定理可得:由于不同特征值的特征向量正交, 根
第42 节 相似矩阵一 相似矩阵二 矩阵的对角化三 相似矩阵的应用返回42 相似矩阵一.相似矩阵1.定义: 对于 阶矩阵 ,若存在可逆矩阵 (教材上为非奇异阵,其实就是可逆阵), 使 ,则称 与 相似,记为 。 例如: 有 ,则 。 说明:若 ,则有 ,此时 也可称 。 相似矩阵之间有什么关系---用具体的矩阵说明 ,有 ,有 可见,相似矩阵具有相同的特征值。 2.相似矩阵的性质 ⑴ (自反性)
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