记作 1)求 l 的方向余弦:例2. 求函数 指向外侧的法向量1. 定义向量的方向导数为处的梯度为思考与练习1. (1)
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第九章 第七节一、方向导数 二、梯度方向导数与梯度一、方向导数定义: 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数在点处沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 定理:则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得故对于二元函数为?, ?) 的方向导数为特别:? 当 l 与 x 轴同向? 当 l 与 x 轴反向向角例1 求函数 在点 P(1, 1,
三物理意义 沿方向 l (方向角为得朝 x 增大方向的方向导数.方向余弦为方向导数公式同样可定义二元函数( 为方向l 上的单位向量)的等值面(等量面). 带阴影的等高线图(2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为证:向量场(矢性函数)例6.内容小结方向导数存在练习在点2. 函数
87方向导数与梯度871 方向导数的概念872 梯度的定义和方向导数的计算1实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?问题的实质:应沿由热变冷变化最剧烈的方向(即梯度方向)爬行.问题的
记作 例1. 求函数 它在点 P 的切向量为同理得这说明记作处的梯度一 多元函数的极值 的某邻域内有取得极值 3) 当第二步 判别.在点(?32) 处在(00)点邻域内的取值为最小 值得驻点积最大. 故此点即为所求.例如 则问题等价于一元函数拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 要设计一个容量为圆周上求一点 C 使对应面积解方程组答案:设
单击此处编辑母版标题样式 §8.7 方向导数与梯度一方向导数二梯度方向导数与偏导数的关系三元函数的方向导数梯度与方向导数梯度的模方向导数的最大值等高线梯度与等高线的关系三元函数的梯度等量面数量场与向量场势与势场一方向导数 设函数z?f (xy)在点P (xy)的某一邻域U(P)内有定义.自点P引射线 l .设 x 轴正向到射线 l 的转角为j 并设P ?(x??xy??y) 为 l
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 第一节 预备知识 第二节 极限与连续 第三节 偏导数与全微分 第四节 微分运算法则 第五节 方向导数与梯度 第六节 多元函数微分学的几何应用 第七节 多元函数的Taylor公式与极值 第八节 n元m维向量值函数的微分法 第九节 复变函数的导数与解析函数 第五章 多元函数微分法及其应用xz y0 l??
高等数学电子教案α义沿方向L的方向导数 因为函数可微分且θ=0即沿梯度方向时方向导数得到最大值这个最大值就是梯度的模x利用场的概念我们说向量函数gradf(M)确定了一个向量场--梯度场它是由数量场f(M)产生的通常称函数f(M)为这个向量场的势而这个向量场又称为势场.必须注意任意一个向量场不一定是势场因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例8 试求数量场mr所产生的梯度场其中常数m>0
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