上海交通大学2003年硕士研究生入学考试数学分析试题一 判断以下各题,正确的给出证明,错误的举出反例并给出理由(每小题6分,共24分)1)若f(x)在R上有定义,且在所有的无理点上连续,则f(x)在R上处处连续2)若f(x),g(x)连续,则连续3)任意两个周期函数之和仍为周期函数4)若函数f(x,y)在区域D内关于x,y的偏导数均存在,则f(x,y)在D 内连续二.设f(x)在[a,b]上无界
上海交通大学2003年硕士研究生入学考试试题高等代数设,求(15分)以表示数域上的2阶矩阵的集合,假设,,,为两两互异的数而且他们的和不等于零。试证明,,,是上线性空间的一组基(15分)证明:n阶实对称矩阵的秩为(),当且仅当可以写成,其中为阶满秩矩阵,为阶可逆实对称矩阵。(15分)假设被整除。证明:被整除(15分)设为阶反对称矩阵,,其中,证明(15分)阶方阵满足,当且仅当(15分)设,都是
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1 2004年上海交通大学数学分析一(14)设,证明二(14)证明在上不一致连续。三(14)设在上连续,且=,证,使=四(14)证明不等式<<,五 (14) 设收敛,且在上一致收敛,证= 0六(14)设, 证明级数收敛七(14)设在上连续,= 0 , ,证明在上一致收敛。八(12)设在上连续,证明=九(12)设0,=+,证=1十(28)计算下述积分:1.,其中D是矩形区域,2.,其中S是曲面上的那部分正侧
6 2004年上海交通大学数学分析一(14)设,证明 证 因 ,故利用Stolz公式,,得二(14)证明在上不一致连续证 因,,, ,故在上不一致连续三(14)设在上连续,且=,证明,使=证 作(),则在上连续,因=,故,情形1 若,则取,则=,情形2 若,则因,故由介值定理知,存在,使得,即=四(14)证明不等式<<, 证作,,则因,故在上严格单调减少,而,,因此,在上,有,即<<五 (14)
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一高斯点定义:高斯公式机械求积公式含有2n2个待定参数 若适当选择这些参数使求积公式具有2n1次代数精度则这类公式称为高斯公式(4.1)请回答:以前学过的梯形公式辛甫生公式柯特斯公式中矩形公式是高斯公式吗答:除中矩形公式外都不是 定义:高斯点高斯公式的求积节点称为高斯点举例求 [ab]上的一点和二点高斯公式解设一点高斯公式为则其代数精度
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