单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 第四章 定积分 1.1定积分的背景背景来源——面积的计算 矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 一般图形的面积怎么计算 我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充但闪烁部分永远不可能恰好为矩形这些边角余料无外乎是右图所示的典型图形(必要时可旋转)典型图形面积的计算问题就产生了定积分abxyo
微积分产生的历史背景数学中的转折点是笛卡尔的变数有了变数运动进入了数学有了变数辩证法进入了数学有了变数微分学和积分学也就立刻成为必要的了而它们也就立刻产生并且是有牛顿和莱布尼兹大体上完成的但不是由他们发明的恩格斯从15世纪初欧洲文艺复兴时期起工业农业航海事业与商贾贸易的大规模发展形成了一个新的经济时代宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量
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◆ 圆周率球体积球表面积的研究(祖冲之祖暅)二微积分的萌芽 3十七世纪的许多著名的数学家天文学家物理学家都为解决问题作了大量的研究工作如法国的费尔玛笛卡儿罗伯瓦笛沙格英国的巴罗瓦里士德国的开普勒意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论为微积分的创立做出了贡献五微积分创立的历史意义 牛顿是英国伟大的数学家物理学家天文学家和自然哲学家1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级定积分的定义考虑正弦函数sin(x)在?0??区间上分割. 将?0??区间等分比如说20份近似. 将每个小区间上的面积用矩形的面积来近似积分和(黎曼和). 将所有小矩形面积求和得到整体面积的一个近似求极限. 让等分的份数趋近于无穷大所得极限就是所求面积的精确值分割近似求和取极限定积分的定义现在看看分成40份的情形可以看到误差变
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 通过对不均匀量(如曲边梯形的面积变速直线运动的路程)的分析采用分割近似代替求和取极限四个基本步骤确定了它们的值并由此抽象出定积分的概念我们发现定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具那么究竟哪些量可以通过定积分来求值呢 定积分的微元法 为了说明微元法我们先来回
二定积分的分部积分法 第三节不定积分一定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五章 一定积分的换元法 定理1. 设函数函数满足:1)2) 在上证: 所证等式两边被积函数都连续因此积分都存在 且它们的原函数也存在 .是的原函数 因此有则则说明:1) 当? < ? 即区间换为定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限 原函数中的变量不必代
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 不定积分的分部积分法 西安工业大学理学院李艳艳问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数 u=u(x) 和 v=v(x)具有连续导数 分部积分公式例1 求不定积分解:则若设则显然 u 和 v 选择不当积分更难进行.注1:在分部积分公式中关键是选择恰当的 和例2 求不定积分解:设则总结1:如果被积函数
定积分的分部积分公式推导一分部积分公式例1 计算解令则例2 计算解例3 计算解例4 设 求解例5 证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证设积分 关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止于是定积分的分部积分公式二小结(注意与不定积分分部积分法的区别)思考题思考题解答练 习 题练习题答案
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