第三节 线性方程组的解第三章二、基础解系及其求法 四、小结一、齐次线性方程组的性质三、非齐次线性方程组的性质1.解向量的概念设有齐次线性方程组(1)一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组(1)可写成矩阵方程若称为方程组(1) 的解向量若记2.齐次线性方程组解的性质证明证明1.基础解系的定义二、基础解系及其求法2.线性方程组基础解系的求法依次得说明1.解空间的基不是唯一的.2.解空间的基又称为方程组
单击此处编辑母版标题样式一线性方程组有解的判定条件问题:证必要性.()nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=()根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而这与原方程组有非零解相矛盾().nAR<即充分性.()nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为1其余自由未知量为0即可得方程组的一个非零解 .证必要性.有解设方程组bAx=()()BRAR<设则B的行阶梯形矩阵中最
初等列变换不改变A的行秩方法一:例如:设设 A1 是由A中第j1 j2… jr1行和 i1 i2… ir1 列所构成的r1阶子式A中所有的r1及大于r1阶子式都为零设r(A)=s由于s>r≌必要性线性方程组()有解系数矩阵解:解:此时方程组无解由例3看到:当因为而有非零解P127因为Vi是AX=O的解n维向量组V1V2…Vs是 AX=O的一个基础解系线性无关…都是AX=O的解则有为任意常数得n-r
§ 线性方程组解的结构一齐次线性方程组解的结构1.解的性质性质1 (1)的两个解的和还是(1) 的解性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解.2 .基础解系定义 齐次线性方程组(1)的一组解?1?2…?r若满足 1) ?1?2…?r线性无关 2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由?
设齐次线性方程组为 前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法 并得出了两个重要结论: 证明:设 系数矩阵A的秩为r且不妨设A的前 r 个列向量线性无关 于是A可化为:···说明解请你动手R(B)=R(b1 b2··· bl )? n–R(A).证毕从而推知Ax=. 非齐次线性方程组解的性质求非齐次线性方程组Ax=b通解的步骤: R(A)=r在对应的齐次线性方程组得Bn思考题
全为零增广矩阵推论 齐次 线性方程组 同解方程组方程组(1)有唯一解解有解
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2016-10-30??§ 线性方程组的解的结构(二) 一解向量 二齐次线性方程组解的性质 三基础解系回顾:线性方程组的解的判定包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n .包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A b)并且当R(A) = R(A b)
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级上一页下一页退 出第三章 向量空间 重点: 向量组的相关性极大无关组难点: 相关性概念向量空间(vector space) §3.1 n 维向量的定义以前我们接触过一维向量二维向量三维向量现在很自然地推广到 n 维向量.oxoxy一n 维向量的概念§3.1 n 维向量的定义定义1注: 如无特殊说明向量均
(一)齐次线性方程组解的结构(二)非齐次线性方程组解的结构 返回第35 节 线性方程组解的结构(一)齐次线性方程组 解的结构1.解的判定:---只有零解; ---有非零解。 齐次线性方程组一定有解,且至少有零解,零解称为齐次线性方程组的平凡解。 2.齐次线性方程组解的性质⑴若 为 的解,则 也是方程组的解; ⑵ 为方程组的解; 小结:齐次线性方程组解向量的线性组合仍是齐次线性方程组的解向量。3.齐
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