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  魏尔斯特拉斯判别法定理1如果函数项级数在区间上满足条件:(1)(2)正项级数收敛.则该函数项级数在区间上一致收敛.证因为正项级数收敛柯西准则知对任给定的存在自然数使当时对任意自然数有由常数项级数收敛的于是对一切都有魏尔斯特拉斯判别法于是对一切都有魏尔斯特拉斯判别法于是对一切都有令则由上式得项级数在区间上一致收敛.所以函数完

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  狄利克雷收敛定理本段我们要考虑另一个基本问题:函数在怎样的条件下它的傅里叶级数收敛到函数函数满足什么条件即就可以展开成傅里叶级数这个问题自十八世纪中叶提出以来当时欧洲的许多数学家都曾致力于它的解决直到1829年克雷才首次给出了这个问题对这一问题的研究极大地促进了数学分析的发展.这里我们不加证明地叙述收敛问题的一个充分条件.狄利狄利克雷关于傅里叶级数定理1(收敛定理 狄利克雷充分条件)的一个严格的数

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  魏尔斯特拉斯判别法定理1(1)(2)证柯西准则知,由常数项级数收敛的于是,都有魏尔斯特拉斯判别法于是,都有魏尔斯特拉斯判别法于是,都有所以函数完

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  定理3设在上连续且级数在区间上一致收敛于则存在项积分即且级数在上可以逐其中也一致收敛.证由定理2知在上连续间上可积.且上式右端的级数在上从而在闭区因为级数在区间间上可积.因为级数在区间间上可积.因为级数在区间上一致收敛于故对任给存在使得当时都有从而于是根据极限定义有即有从而在定理3的条件下积分运算与求和运算可交换顺序.完

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  比较判别法的极限形式这两个级数有相同的敛散性证定理2￠设均为正项级数与且当时当时若发散则发散.若收敛则收敛.当时对于存在正数当时有由比较判别法的极限形式当时有比较判别法的极限形式当时有即从而所以 由比较判别法知与有相同的敛散性.当时取则存在正数当时有得即比较判别法的极限形式时有得即比较判别法的极限形式时有得即由比较判别法即可得证.当时取则存在正数当时有即由比较判别法即可得证.注:当时可表述为:若

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  引 例有限个连续函数的和仍是连续函数数的和的导数及积分的和.对于无限个函数的和是否具有这些性质呢对于幂函数而言答案是肯定的有限个函也分别等于它们的导数及积分那么对于一般的函数项级数是否如此例1考察函数项级数的和函数的连续性.解因为该级数每一项都在[01]是连续的且其部分和引 例和引 例和故该级数的和函数易见和函数在处间断.注:本例表明:函数项级数的每一项在上连续并且级数在上收敛收

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  引 言在科学实验与工程技术领域中经常会遇到振动现象最简单的振动可表示为这种振动称为谐振动表示动点的位置表示时间称为振幅称为初相 .现实世界中的周期现象例如在电子技术中常用是多种多样的和复杂的 .的矩形波到的周期为就是这样一个周期现象 .引 言早在18世纪中叶丹尼尔.伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解 :任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和 .这一事实用数学语言来描述即为

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  三角函数系的正交性所谓三角函数系(1)在区间上正交是指(1)中任何两个不同函数的乘积在该区间上的积分等于零即(1)(2)(3)(4)三角函数系的正交性(4)三角函数系的正交性(4)(5)以上等式都可以通过直接计算定积分来验证.完

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  空间曲线积分与路径无关的条件 在前述利用格林公式推出了径无关的条件类似地我们利用斯托克斯公式可以推出空间曲线积分与路径无关的条件.定理2设空间区域是一维单连通域函数在内具有一阶连续偏导数则下列四个条件是等价的:(1)对于内任一分段光滑的封闭曲线有平面曲线积分与路空间曲线积分与路径无关的条件 空间曲线积分与路径无关的条件 与路径无关仅与起点终点有关(3)是内某一函数的全微分即(4)在内处处成(2)对