单击此处编辑母版标题样式一线性方程组有解的判定条件问题:证必要性.()nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=()根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而这与原方程组有非零解相矛盾().nAR<即充分性.()nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为1其余自由未知量为0即可得方程组的一个非零解 .证必要性.有解设方程组bAx=()()BRAR<设则B的行阶梯形矩阵中最
初等列变换不改变A的行秩方法一:例如:设设 A1 是由A中第j1 j2… jr1行和 i1 i2… ir1 列所构成的r1阶子式A中所有的r1及大于r1阶子式都为零设r(A)=s由于s>r≌必要性线性方程组()有解系数矩阵解:解:此时方程组无解由例3看到:当因为而有非零解P127因为Vi是AX=O的解n维向量组V1V2…Vs是 AX=O的一个基础解系线性无关…都是AX=O的解则有为任意常数得n-r
§31矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算? 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用?方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中? 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程? 这种变换过程称为同解变换? 同解变换有? 交换两个方程的位置? 把某个方程乘以一个非零数? 某个方程的非零倍加到另一个方程上? 显然? 交换B的第1行与第2行即得B1? 增
第三节 线性方程组的解第三章二、基础解系及其求法 四、小结一、齐次线性方程组的性质三、非齐次线性方程组的性质1.解向量的概念设有齐次线性方程组(1)一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组(1)可写成矩阵方程若称为方程组(1) 的解向量若记2.齐次线性方程组解的性质证明证明1.基础解系的定义二、基础解系及其求法2.线性方程组基础解系的求法依次得说明1.解空间的基不是唯一的.2.解空间的基又称为方程组
§35投入产出数学模型一、投入产出平衡表二、向量的线性运算三、直接消耗系数四、平衡方程组的解一、投入产出平衡表 基本假设? 在一个经济系统有n个生产部门? 各部门分别用1? 2? ? ? ?? n表示? 部门i只生产一种产品i? 并且没有联合生产? 即产品i仅由部门i生产? 每一生产部门? 一方面以自已的产品分配给各部门作为生产或满足社会的非生产性消费需要? 并提供积累? 另一方面? 每一生产
§31线性方程组的消元解法非齐次线性方程组?齐次线性方程组? 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的一般形式为 其矩阵形式为Ax?b? 其中A称为方程组的系数矩阵?我们把矩阵 称为线性方程组Ax?b的增广矩阵? 解? 方程组的解为x1??7? x2??1? x3?2? 用消元法解线性方程组的过程? 实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程? 观察增广矩阵的变化? 用初等行变换法解例1的过程
称为方程组(1) 的解向量它也就是向量方程(2)的解.二基础解系及其求法所以 个 维向量 亦线性无关.解证线性方程组 有解所以方程组有无穷多解.所以方程组的通解为)(=
§33 线性方程组主要内容:一、线性方程组解的判定定理二、求解线性方程组的步骤三、线性方程组的相关定理线性方程组可以写成以向量为未知元的向量方程 Ax = b,如果方程组有解,称方程组(1)是相容的,如果方程组无解,称方程组(1)不相容定义:设有n个未知数m个方程的线性方程组线性方程组定理4: n元线性方程组Ax = b(1)无解的充分必要条件是 R(A )R(A,b );(2)有唯一解的充分必要
--2 向量 可由A的列向量组(4-2)(1)的线性方程组§ 线性方程组解的存在性定理10而在解空间中基的概念我们在这里称为基础解系是例1是解吗就是必然是线性无关的 从而也是基础解系.由此得到解法2.是矩阵如果证20证明只需解§ 线性方程组在几何中的应用25注:非齐次方程组的解集不是空间得齐次方程组的基础解系※30
§ 线性方程组解的结构一齐次线性方程组解的结构1.解的性质性质1 (1)的两个解的和还是(1) 的解性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解.2 .基础解系定义 齐次线性方程组(1)的一组解?1?2…?r若满足 1) ?1?2…?r线性无关 2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由?
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