泛函分析题1_2完备化p131.2.1 (空间S) 令S为一切实(或复)数列x = ( ?1 ?2 ... ?n ... )组成的集合在S中定义距离为 ?(x y) = ?k ? 1 (12k) · ?k ? ?k (1 ?k ? ?k )其中x = ( ?1 ?2 ... ?k ... )y = ( ?1 ?2 ... ?k ... ).求证S为一个完备的距离空间.证明:(1
泛函分析题1_3列紧集p191.3.1 在完备的度量空间中求证:为了子集A是列紧的其充分必要条件是对?? > 0存在A的列紧的?网.证明:(1) 若子集A是列紧的由Hausdorff定理?? > 0存在A的有限?网N.而有限集是列紧的故存在A的列紧的?网N.(2) 若?? > 0存在A的列紧的?2网B.因B列紧由Hausdorff定理存在B的有限?2网C.因C ? B ? A故C为A的有限?
泛函分析题1_6内积空间p751.6.1 (极化恒等式) 设a是复线性空间X上的共轭双线性函数q是由a诱导的二次型求证:?x y?X有a(x y) = (14) · ( q(x y) ? q(x ? y) i q(x i y) ? i q(x ? i y)).证明:?x y?Xq(x y) ? q(x ? y) = a(x y x y) ? a(x ? y x ? y)= (a(
泛函分析题1_4线性赋范空间p391.4.1 在2维空间?2中对每一点z = (x y)令 z 1 = x y z 2 = ( x 2 y 2 )12 z 3 = max( x y ) z 4 = ( x 4 y 4 )14(1) 求证 · i ( i = 1 2 3 4 )都是?2的范数.(2) 画出(?2 · i ) ( i = 1 2 3 4 )各空间中单位球面图形
泛函分析题1_5凸集与不动点p521.5.1 设X是B空间E是以?为内点的真凸子集P是由E产生的Minkowski泛函求证:(1) x?int(E) ? P(x) < 1(2) cl(int(E)) = cl(E).证明:(1) (?) 若x?int(E)存在? > 0使得B? (x) ? E.注意到x xn ? x ( n ? ? )故存在N ? ?使得x xN ? B? (x) ?
泛函分析期末复习题(2005-2006年度)(1)所有 矩阵可以构成一个线性空间试问这个线性空间中的零元素是什么(2)什么是线性空间的子空间子空间是否一定包含零元素为什么(3)什么是线性流形(4)什么是线性空间中的凸集(5)如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离那么这个度量必须满足什么条件试给出几个在 维欧几里德空间上常用的距离定义(6)距离空间 上的收敛是如何定义的(7)线性空间上定义的范
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川大2011年泛函分析模拟试题叙述题在度量空间中列紧集完全有界集的定义及二者之间的关系列紧集:设是度量空间的一个子集若在中有一个收敛子列则称为列紧集完全有界集:是度量空间的一个子集都存在的一个有穷网则称为完全有界集关系:列紧集一定是完全有界集完全有界集不一定是列紧集:但在完备的度量空间中列紧集与完全有界集等价(即)在欧式空间中有界集完全有界集和列紧集三者之间的关系紧集与有界闭集的关系 在欧
泛函分析题1_1压缩映射原理p91.1.1 证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集.证明:(1) 设(X ?)是完备度量空间A ? XA是X的闭子集.若{xn}是A中的Cauchy列则{xn}也是X中的Cauchy列.因(X ?)完备故{xn}收敛于X中某点x.而A是X的闭子集且{xn}是A中的点列故其极限x也在A中.因此{xn}是子空间A中收敛列.所以
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