方法技巧篇之分离变量法 数学讲师:孟九章题型透析破题技巧题型突破思维发散备考指津谢谢您的观看!
第四章 分离变量法一分离变量法的精神和解题要领1.分离变量法的精神将未知函数按多个单元函数分开如令从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解2.分离变量法的解题步骤用分离变量法求解偏微分方程分4步(1)分离变量:将未知函数表示为若干单元函数的乘积代入齐次方程和齐次边界条件得到相应的特值问题和其它常微分方程(2)求解特征值问题(3)求解其它常微分方程并将求得的解与特征函数相乘得到
Wuhan UniversityWuhan University<4>③解<6>:2求解扇形区域中的狄氏问题:一正交曲线坐标系中的分离变量一正交曲线坐标系中的分离变量Wuhan University<5><4>1820在介质圆柱放于后:Wuhan UniversityWuhan University
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第十四章 分离变量法数学物理方法——定解问题最常用的解法——分离变量法核心思想:将未知函数按多个单元函数分开偏微分方程?若干常微分方程 求解常微分方程: 特解?线性无关的特解叠加出通解?用定解条件定出叠加系数求解一阶线性偏微分方程: 转化为一阶线性常微分方程二阶及高阶偏微分方程:难以定出待定系数分离变量法:
偏微分方程?若干常微分方程 …………………………所希望的特解 选取相应的齐次定解条件与其中一个常微分方程构成本征值问题 ∵ ∴ 即 相应的本征函数为 小 结分离变量法求解偏微分方程的基本步骤: ? 分离变量(齐次条件) ? 求解本征值
#
数学物理方程与特殊函数例15 求下列定解问题例17 求定解问题边界条件非齐次转换为齐次边界条件3. 任意两个不同的特征值对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第二章 分离变量法第一节 有界弦的自由振动第二节 有限长杆上的热传导第三节 特殊区域上的位势方程第四节 对非齐次边界条件和非齐次方程的处理第一节 有界弦的自由振动该定解问题的特点: 偏微分方程是线性二阶齐次的边界条件也是齐次的求解这类的问题可以运用叠加原理求解的基本步骤第一步:求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式
#
有界弦的自由振动有界弦的自由振动分离变量法4 分离变量法的解题步骤为:①对齐次方程和齐次边界条件分离变量②解常微分方程的本征值问题③解其它变量的常微分方程④叠加,用初始条件(或非齐次边界条件)定系数不同边界条件下的本征值问题形式2不同边界条件下的本征值问题形式3形式4作业:分别求出本征值和本征函数=? 以上求解非齐次方程的方法,显然也适用于求解带有其他齐次边界条件的各类方程。其中主要步骤为:非其次
违法有害信息,请在下方选择原因提交举报