第四节实对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化10/10/20231线性代数教学课件定理 实对称矩阵的特征值必为实数证明:一、对称矩阵的性质10/10/20232线性代数教学课件10/10/20233线性代数教学课件10/10/20234线性代数教学课件10/10/20235线性代数教学课件10/10/20236线性代数教学课件证明于是10/10/20237线性代数教学
定理 实对称矩阵的特征值必为实数.二利用正交矩阵将实对称矩阵对角化解
注 定义推论标准化:该齐次线性方程组的基础解系为
第四节 实对称阵的对角化第四章二、实对称矩阵的对角化三、小结一、实对称矩阵的性质定理1 实对称矩阵的特征值为实数证明一、实对称矩阵的性质 说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说明,均指实对称矩阵.于是有两式相减,得定理1的意义:证明于是证明由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交, 根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定理3( 如上)可得: 根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵
§52 相似矩阵一相似矩阵?可逆阵P, stP?1AP =B 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然 相似是一等价关系, A~B, 则?多项式f(x),f(A) ~ f(B) 相似则特征多项式相同,但反之不然 不变量为特征值,迹,行列式,秩相似对角化下的最简形为? = diag(?1,?2,…,?n)注:不变量都只是必要条件,而非充要条件若A,B都可相似对角化,且特征多项式相同,则A,B相似 ?
五对称矩阵的性质23 正交向量组的性质9定理223这样的特征向量共可得 个.将特征向量单位化.第四步 将特征向量单位化
单击此处编辑母版标题样式线性代数教学课件单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 第二节 相似矩阵和矩阵对角化本节目的:利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法 41920221线性代数教学课件相似矩阵的定义定义3 已知矩阵 是两个 阶方阵如果存在一个满秩矩阵 使得 则称
第四节 实对称矩阵的对角化 一个阶矩阵具备什么条件才能对角化这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对为实对称矩阵的情况进行讨论. 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.内容分布图示★ 实对称矩阵的性质 ( 1 )★ 实对称矩阵的性质 ( 2 )★ 对称矩阵对角化的方法★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4★ 内容小结★ 练习★ 习题4-4★ 返回内容要点:定理1 实对称矩阵的特征值都为实数
第四节 实对称矩阵的对角化 一个阶矩阵具备什么条件才能对角化?这是一个比较复杂的问题 本节我们仅对为实对称矩阵的情况进行讨论 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质分布图示★ 实对称矩阵的性质 ( 1 )★ 实对称矩阵的性质 ( 2 )★ 对称矩阵对角化的方法★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4★ 内容小结★ 练习★ 习题4-4内容要点定理1实对称矩阵的特征值都为实数证: 对实对称矩阵,因
§5 矩阵对角化于是(2)-(3)得:征向量则记组基下的矩阵为对角形得下的矩阵的特征向命题1 设而是n 阶矩阵A的一个特征值是A的一个特征值则的特性向量则 (1) A2 与B2 相似 (2) kA 与kB 相似例: 设§7 实对称矩阵的对角化而因(1) 求出A的全部互异的特征值则故所求-1 的特征向量为有相同的特征多项式即有相同
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