第五章二次型 (6学时)第一节二次型与对称矩阵第三节二次型与对称矩阵的有定性第二节二次型与对称矩阵的标准形一、正(负)定二次型的概念正定二次型--------如果对于任意x≠0,都有二次型xTAx0,此二次型为正定二次型,对应的矩阵为正定矩阵负定二次型--------如果对于任意x≠0,都有二次型xTAx0,此二次型为负定二次型,对应的矩阵为负定矩阵半正定二次型--------如果对于任意x≠0,
一正定二次型正定矩阵34因此二次型正定 它的顺序主子式为: 顺序主子式为: 2其它有定二次型(1)A半正定的充分必要条件是A的特征值非负 16必要性
第5章???? 二次型第51节二次型与对称矩阵第52节二次型与对称矩阵的标准形51 二次型与对称矩阵一.二次型及其矩阵1.定义:含有个变量的二次齐次函数:称为二次型。为便于用矩阵讨论二次型,令,则二次型为:令 , 则二次型,其中为对称矩阵。由此可见对称矩阵与二次型是一一对应关系, 故称对称矩阵为二次型的矩阵, 也称二次型为对称矩阵的二次型, 也称为二次型的秩。 如二次型的矩阵为 的二次型称为二次
对称矩阵A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负而偶数阶主子式为正即定理6 设B是m×n矩阵则BTB是对称半正定矩阵如果B的秩是n那末BTB还是正定矩阵9例2 判别二次型例3 判别二次型 例7 设AB是n阶实对称阵其中A正定 试证当实数t充分大时tAB也正定.的特征值.小结
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级2.3 矩阵的转置 对称矩阵定义2.11把一个矩阵的行列互换得到的一个 矩阵称之为A 的转置矩阵记作 .例由定义可知如果记则.注:由于 维列向量 可看作 矩阵 所以可以记 维列向量 为:矩阵的转置性质:证明:仅证性质(4) 其余留给同学们自证..设矩阵 且这就证明了注:性
52 二次型与对称矩阵的标准形一.用配方法化二次型为标准形1.二次型中含有平方项例1 化二次型 为标准形,并求出非奇异线性变换。解: 原式 令 ,即 令 ,则 ,于是作非奇异的线性变换 ,即 ,则原实二次型 化为标准形: 练习:⑴ ⑵ 2.二次型中不含平方项例2 用配方法化二次型 为标准形,并求出相应的满秩线性变换。 解:令 ,则原二次型化为: 再按前例的方法有: , 则原二次型化为: 令 其中
第六章二次型与对称矩阵 二次型及其对称矩阵在数学理论、数值计算及工程应用中都占有重要地位。§1二次型及其矩阵在解析几何中,为了便于研究二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的坐标变换:把方程化为标准形 (1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看,化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使它只有平方项。这样的问题,在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。 现在我们把这类问题一
单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级定义:若A对称且对任意的x?Rnx?0有xTAx>0称A是对称正定矩阵.对称正定矩阵有如下判定定理:若A对称且各阶顺序主子式大于零时A为对称正定矩阵.返回对称正定矩阵A的特征值都大于零反之若A对称且所有的特征值都大于零则A是对称正定矩阵.
单击此处编辑母版标题样式定理1 对称矩阵的特征值为实数.证明一对称矩阵的性质 说明:本节所提到的对称矩阵除非特别说明均指实对称矩阵.于是有两式相减得定理1的意义证明于是证明它们的重数依次为 根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定理3( 如上)可得:设 的互不相等的特征值为由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交这样的特征向量共可得 个.故这 个单位特征向量两两正交.以它们为列向量
五对称矩阵的性质23 正交向量组的性质9定理223这样的特征向量共可得 个.将特征向量单位化.第四步 将特征向量单位化
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