52 二次型与对称矩阵的标准形一.用配方法化二次型为标准形1.二次型中含有平方项例1 化二次型 为标准形,并求出非奇异线性变换。解: 原式 令 ,即 令 ,则 ,于是作非奇异的线性变换 ,即 ,则原实二次型 化为标准形: 练习:⑴ ⑵ 2.二次型中不含平方项例2 用配方法化二次型 为标准形,并求出相应的满秩线性变换。 解:令 ,则原二次型化为: 再按前例的方法有: , 则原二次型化为: 令 其中
第5章???? 二次型第51节二次型与对称矩阵第52节二次型与对称矩阵的标准形51 二次型与对称矩阵一.二次型及其矩阵1.定义:含有个变量的二次齐次函数:称为二次型。为便于用矩阵讨论二次型,令,则二次型为:令 , 则二次型,其中为对称矩阵。由此可见对称矩阵与二次型是一一对应关系, 故称对称矩阵为二次型的矩阵, 也称二次型为对称矩阵的二次型, 也称为二次型的秩。 如二次型的矩阵为 的二次型称为二次
对称矩阵A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负而偶数阶主子式为正即定理6 设B是m×n矩阵则BTB是对称半正定矩阵如果B的秩是n那末BTB还是正定矩阵9例2 判别二次型例3 判别二次型 例7 设AB是n阶实对称阵其中A正定 试证当实数t充分大时tAB也正定.的特征值.小结
第六章二次型与对称矩阵 二次型及其对称矩阵在数学理论、数值计算及工程应用中都占有重要地位。§1二次型及其矩阵在解析几何中,为了便于研究二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的坐标变换:把方程化为标准形 (1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看,化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使它只有平方项。这样的问题,在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。 现在我们把这类问题一
第42 节 相似矩阵一 相似矩阵二 矩阵的对角化三 相似矩阵的应用返回42 相似矩阵一.相似矩阵1.定义: 对于 阶矩阵 ,若存在可逆矩阵 (教材上为非奇异阵,其实就是可逆阵), 使 ,则称 与 相似,记为 。 例如: 有 ,则 。 说明:若 ,则有 ,此时 也可称 。 相似矩阵之间有什么关系---用具体的矩阵说明 ,有 ,有 可见,相似矩阵具有相同的特征值。 2.相似矩阵的性质 ⑴ (自反性)
第五章二次型 (6学时)第一节二次型与对称矩阵第三节二次型与对称矩阵的有定性第二节二次型与对称矩阵的标准形一、正(负)定二次型的概念正定二次型--------如果对于任意x≠0,都有二次型xTAx0,此二次型为正定二次型,对应的矩阵为正定矩阵负定二次型--------如果对于任意x≠0,都有二次型xTAx0,此二次型为负定二次型,对应的矩阵为负定矩阵半正定二次型--------如果对于任意x≠0,
一实对称矩阵特征值的性质二实对称矩阵的相似理论4 作正交矩阵P使得P-1AP为对角阵16
三矩阵的合同注意对称矩阵(这表明在选定文字 下二次型 完全由对称矩阵A决定.)二非退化线性替换0为可逆矩阵 .事实上 1定义:设 若存在可逆矩阵C可逆2非退化线性替换:2二次型X′AX可经非退化线性替换化为二型Y′BY
第一节 二次型及其标准形第五章二、二次型的表示方法一、 二次型及其标准形的概念三、化二次型为标准形一、二次型及其标准形的概念称为二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式).若标准形的系数只取1,-1或0,即称为二次型的规范形.1.用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2.用矩阵表示 在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定
同济大学数学系2009-3-22工科研究生数学 --矩阵论第 2 章 矩阵的标准形吴 群同济大学数学系wuqun@21一元多项式定义设 n 是一个非负整数,表达式 23则称 f(x)与 g(x)相等,记作 f(x)= g(x)。4多项式加法5运算规律:6数乘多项式运算规律:7多项式乘法其中k 次项的系数是8运算规律:9定理211(带余除法)设 f(x)和 g(x)是数域 F 上的多项式,并且q(
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