第七章 非线性方程的求根 Solutions of Nonlinear Equations 求 f (x) = 0 的根7.1 方程求根与二分法一本章解决的问题二求根的两个步骤三二分法一本章解决的问题在科学计算中常要求解各种方程这些方程看似简单但难于求其精确解而实际问题:只要能获得满足已定精确度的近似根就可以了高次代数方程超越方程本章解决的问题:f(x)为非线性函数或高次代数方程若有数x使f(
一高斯点定义:高斯公式机械求积公式含有2n2个待定参数 若适当选择这些参数使求积公式具有2n1次代数精度则这类公式称为高斯公式(4.1)请回答:以前学过的梯形公式辛甫生公式柯特斯公式中矩形公式是高斯公式吗答:除中矩形公式外都不是 定义:高斯点高斯公式的求积节点称为高斯点举例求 [ab]上的一点和二点高斯公式解设一点高斯公式为则其代数精度
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Click xnNewton插值法采用承袭性的思想x0二两种简单情形 解:x0xi求:一个次数不超过2n1的多项式H2n1(x)0例2:给定如下数据表求次数不高于3次的代数插值多项式2014x0例6:给定如下数据表求首项系数为1的4次的代数多项式xi进一步讨论第2列中的0上移和下移情况下如何求解
已知:4个条件其中(x)∈C2[ab](x)在[xjxj1]上是三次多项式插值条件: n1设在[ab]上给出插值条件:f1…得到与m0m1m2有关的等式…设法求出由条件x2思路: (1)首先要补条件:每个区间上构造三次多项式需要四个条件但现在最多有三个故要补充条件形成四个(2)补什么条件:或函数值或一阶导数值或二阶导数值这里选二阶导数较合适(3)如何补若随意给则只能保证所构造出的函数
例:已测得在某处海洋不同深度处的水温如下: 深度(M) 466 741 950 1422 1634 水温(oC) 根据这些数据希望合理地估计出其它深度(如500600800米…)处的水温f2求简单函数Pn(x)使得3 三角插值:P(x) 为三角函数 满足插值条件的多项式 P(x)是否存在且唯一若满足插值
3 数值分析研究的对象9 早在中学我们就接触过误差的概念如在做热力学实验中从温度计上读出的温度是度就不是一个精确的值而是含有误差的近似值事实上误差在我们的日常生活中无处不在无处不有如量体裁衣量与裁的结果都不是精确无误的都含有误差3) 截断误差(方法误差) 在使用无穷级数求和时只能取前面有限项的和来近似作为该级数的和于是就产生了有限过程代替无限过程的误差 这种在计算
插值型求积公式:复合梯形求积公式 令h=(b-a)n一阶中心差商常微分方程初值问题一阶常微分方程组思考:Ex8. 初值问题
? 在[a b]上取 a ? x0 < x1 <…< xn ? b做 f 的 n 次插值多项式 即得到 若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足:R[ Pk ]=0 对任意 k ? n 阶的多项式成立且 R[ Pn1 ] ? 0 对某个 n1 阶多项式成立则称此求积公式的代数精度为 n 代入 P0 = 1:? 当节点等
单击此处编辑母版标题样式数 值 分 析 ——数值泛函分析主讲 任春丽E-Mail: clren1003126课件邮箱:clren.ys168 第 1章 绪 论 §1.1 课程简介 §1.2 预备知识数值分析在用计算机解决实际问题的过程中起到承上启下的作用 实际问题建立数学模型提出数值计算方法程序设计编程上机计算分析结果并
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