2006年 6月
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作第二章 一阶微分方程的初等解法 一阶微分方程的初等解法即把微分方程的求解问题化为积分问题用数学方法经过有限次代数运算和作有限次不定积分将微分方程的解用初等函数或初等函数的待积式来表达这种方法习惯上称为初等积分法或求积法能用初等积分法求解的微分方程称为可积方程 初等积分法的实质就是尽可能设法把所遇到的微分方程的求解问题转化为积分(求原函数)问题应当指出
一阶微分方程的初等解法教学目的本章主要讨论变量分离的方程齐次方程线性方程伯努利(Bernoulli)方程恰当方程和一阶隐式方程等方程的解法教学要求能够识别方程的类型熟练掌握各自的解法并能灵活应用教学重点分离变量法一阶线性方程的通解公式常数变易法伯努利(Bernoulli)方程恰当方程的定义充要条件积分因子的求法四类隐式方程通解的求法教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程常数变易法思想
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单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级教学目的:掌握常见一阶微分方程的求解 方法难 点:一阶线性非齐次微分方程的 通解 重 点:可分离变量的微分方程齐
5(2) 柱坐标系柱坐标系中的Laplace方程为设具有分离变数形式的解为代入后得是指定点 为复常数根据定理及复变函数理论可以在常点邻域内将此唯一的解析解展开为泰勒级数该级数的系数是待定的确定系数的方法:将级数解代入方程合并同幂项然后令合并后的各系数分别为零得到系数间的递推关系最后用已给的初值确定各系数最后得到确定的级数解26(2) 级数解在 是否收敛在勒让德方程中 对余弦函数其绝对值
一阶线性常系数微分方程组微分方程的应用31 一阶常系数线性微分方程组解法举例第四节 微分方程应用举例
常见的有解析解的常微分方程1可分离变量方程:两边同除以得积分得2齐次方程:令则于是原方程3可化为齐次型的方程:(1)当时利用2求解(2)即则令则利用1求解(3)不全为0解方程组求交点4一阶线性方程:第一步:求对应齐次方程的通解得第二步:令原方程的解为第三步:代入原方程整理得第四步:写出原方程通解5贝努里方程:其中令则原方程利用4求解6全微分方程:且通解为7不显含的二阶方程:令则原方程这个一阶方程的
第八章常微分方程数值解法8.5.1 一阶方程组和高阶方程 考虑一阶常微分方程组的初值问题:那么(8.5.1)式可以写成(8.5.2)若将其中的为知函数方程的右端项都表示成向量形式:初始条件表示成(8.5.1)8.5 一阶方程组的数值解法可见式(8.5.2)在形式上与一个方程的初值问题一样关于一个方程的初值为体的数值方法均适用于方程组相应的理论问题也可类似地讨论下面仅写出两种数值方法
§45 一阶常系数线性微分方程组解法举例作业习 题 七(P249)1(2)(5)(8);2 (3)。总 习 题(P219)1(奇序号);(18);2 ;3(2);8 。
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