§71 牛顿-柯特斯求积公式我们知道,若函数 f(x) 在区间[a, b]上连续且其原函数为F(x), 则可用Newton-Leibniz 公式计算方法求定积分的值 , Newton-Leibniz 公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用,但它并不能完全解决定积分的计算问题,在实际计算中经常遇到以下三种情况:计算方法?(1)被积函数 f(x) 的原函数不能用初等函数表达,例如:(2)
返回章4 问题在于点 的具体位置一般是不知道的因而难以 a=x0fixf1Trapezoidal rule:插值型求积公式 The quadrature by interpolating polynomial 15 欲使求积公式 (1)具有 次代数精度则只要令它19而24上式称为梯形求积公式也称两点公式记为30上式称为Cotes求积公式也称五点公式 观察这些公式的
§42 Newton-Cotes求积公式总结423 Newton-Cotes公式的误差分析422Newton-Cotes求积公式421 插值型求积法数值求积法与代数精度 我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和系数Ak,使得求积一般公式(421)具有较高的精确度, 同时又计算简单。权Ak仅仅与节点xk的选取有关,而不依赖于被积函数f(x)的具体形式。使积分公式具有通用性右端公式称为左端定
并不复杂但它的原函数却十分复杂:f(x) 求积公式的概念积分值 在几何上可解释为由x=a x=b y=0和 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有困难就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲的. 更一般地取区间[ab]内n1个点 {xi}(i=012…n)处的高度{f(xi)} (i=01…n)通过加权平均的方法近似地
数值微分以上这些现象Newton-Leibniz很难发挥作用代数精度也称代数精确度而 使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度并且n为偶数时至少具有n1次代数精度试以n=124为例说明该结果故求积公式为而理论值为
第三章 数值积分与数值微分3.4 Gauss求积公式3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性3.4.2 常用Gauss求积公式3.4.1 Gauss求积公式的基本理论3.4 Gauss求积公式学习目标:掌握高斯求积公式的用法会用高斯?勒让德求积公式3.4.1 Gauss求积公式的基本理论在Newton-Cotes求积公式中节点是等距的从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨论将取消这
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级Gauss型求积公式我们能否通过节点的选择将求积公式的代数精度从n 或者n1提高到2n1问题:若求积公式中含有2n2个待定参数由前面的讨论已经知道以a=x0<x1<…<xn=b为节点的N-C求积公式的代数精度一般为n或n1这时节点简单地按照闭式等距的方式确定对一个求积公式而言如果不固定节点的位置在节点数目不变的情况下代数精度能
第三章 数值积分与数值微分3.2 复化求积公式3.2.2复化simpson求积公式3.2.1 复化梯形求积公式 对于定积分 其精确值.I=2.302585用梯形公式(3.1.6)计算有 用Simpson公式(3.1.7)计算 可以看出它们的误差很大由上一节的讨论可知
定理1:设节点x0 x1…xn∈[ab]则求积公式 的代数精度最高为2n1次解:n=1 由定义若求积公式具有3次代数精度则 其是Gauss公式 为此分别取 f(x)=1 xx2x3 代入公式并让 其成为等式得1)对每一个n Pn(x)是 n 次多项式 n=01…2)是Guass型求积公式数值分析
§72复化求积公式积分公式的误差与区间长度有关,区间长度越长,误差越大为此,利用积分区间可加性,将较大区间分成若干个小区间,在每个小区间上分别应用Newton-Cotes求积公式,再将结果相加,可得复化求积公式计算方法计算方法计算方法一、常用的复化求积公式复化梯形公式2 复化辛浦生公式3 复化柯特斯公式 计算方法1复化梯形公式 计算方法复化梯形公式 计算方法复化梯形公式 计算方法2复化辛浦生公式
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