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一、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长二、直角坐标情形解所求弧长为解曲线弧为弧长三、参数方程情形解根据对称性第一象限部分的弧长曲线弧为弧长四、极坐标情形解解平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式五、小结思考题思考题解答不一定.仅仅有曲线连续还不够,必须保证曲线光滑才可求长.练 习 题练习题答案
1) 所求量 U 是与区间[a b]上的某函数 f (x) 有关的积分表达式1. 直角坐标情形解: 由应用定积分换元法得上任取小区间解: 利用对称性 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.则得设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x) 有垂直于x 轴 的截面是直角三角形侧面积元素解: 对曲线弧参数方程注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
面积元素积分变量只能选 吗有选 为积分变量小结所以所求曲线为
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级定积分在几何中的应用1.平面图形的面积:复习引入[其中F(x)=f(x) ]AA3.定积分 的意义:2.微积分基本定理:解:作出y2=xy=x2的图象如图所示:即两曲线的交点为(00)(11)oxyABCDO直线y=x-4与x轴交点为(40)解:作出y=x-4 的图象如图所示:
65定积分在几何上的应用一、微元法二、平面图形的面积三、旋转体的体积复习定积分的概念 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A 解决步骤 :1) 分割在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似代替在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3) 求和4) 取极
第二节 定积分在几何上的应用一平面图形的面积选 为积分变量解 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.解pdx证明:如图体积元素立体体积简介 光滑曲线123 参数方程情形求阿基米德螺线a 四 小结
1三、平面曲线弧长四、小结及作业21、直角坐标系情形曲边梯形的面积3曲边梯形的面积如果图形是由两条曲线围成4一般地设两条连续曲线与直线所围平面图形面积为A ,则5解两曲线的交点6解两曲线的交点7于是所求面积说明:注意各积分区间上被积函数的形式.问题:89解两曲线的交点10如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积11解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积.12例5 求由摆线的一拱
单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第五节定积分在几何学上的应用五 旋转体的侧面积四已知平行截面面积函数的 立体体积二 平面图形的面积三 平面曲线的弧长 一 定积分的元素法表示为1什么问题可以用定积分解决 1) 所求量 U 是与区间[a b]上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 [a b] 具有可加性 即可通过大化小 常代变 近似和 取
一、定积分的微元法 二、平面图形的面积 第5节定积分在几何上的应用 三、旋转体的体积 下一页上一页返回定积分在几何、物理、工程技术等方面都有着广泛的应用.为正确灵活地应用定积分解决实际问题,我们首先从引入定积分概念的实例中总结出应用定积分解决实际问题的一般方法微元法.一、定积分的微元法下一页上一页返回下一页上一页返回第一步选取积分变量,例如选取 x,并确定其范围,例如 x? [a, b], 在其上
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