单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第九章 多元函数微分法 及其应用 第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节 全微分第四节 多元复合函数的求导法则第五节 隐函数的求导公式第六节 多元函数微分学的几何应用第七节 方向导数与梯度第八节 多元函数的极值及其求法1 第九章 第七节方向导数与梯度一问题的提出二方向导数的定义三梯度的
2实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?问题的实质:应沿由热变冷变化最剧烈的方向(即梯度方向)爬行.一、问题的提出3二、方向导数的定义(如图)4是否存在?5记为6(2)方向导数的等
高等数学电子教案α义沿方向L的方向导数 因为函数可微分且θ=0即沿梯度方向时方向导数得到最大值这个最大值就是梯度的模x利用场的概念我们说向量函数gradf(M)确定了一个向量场--梯度场它是由数量场f(M)产生的通常称函数f(M)为这个向量场的势而这个向量场又称为势场.必须注意任意一个向量场不一定是势场因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例8 试求数量场mr所产生的梯度场其中常数m>0
二梯度 在实际问题中还需要考虑函数在斜方向上的变化率问题如冷热空气的流动温度场的变化等存在方向导数就是函数在点 处沿方向 l 的变化率则函数在解:或定义: 若函数对于三元函数f(xyz)来说故它在点 P 的切向量为在点P 处沿又证:等高线在点 P ( x y ) 处的一个法向量可取为函数沿负梯度方向最小最小值为沿方向 l (方向角为方向导数存在(2) 求函数在 M( 1 1 1
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第七节 方向导数与梯度一方向导数二梯度一问题的提出一块长方形的金属板受热产生如图温度分布场. 设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行才能最快到达凉快的地点处问题的实质: 应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行.需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念:方向导数和梯度方向导数问
(如图)6二阶方向导数1方向导数的概念五小结
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2第六节 方向导数与梯度一、问题的提出二、方向导数的定义三、梯度的概念四、小结3实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行.一
一方向导数的定义P0解故故而由方向与过点P 的等高线 f ( x y ) = C 在这点的法线的一个方向相同且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线故练习题答案
第九章 第七节一、方向导数 二、梯度方向导数与梯度一、方向导数定义: 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数在点处沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 定理:则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得故对于二元函数为?, ?) 的方向导数为特别:? 当 l 与 x 轴同向? 当 l 与 x 轴反向向角例1 求函数 在点 P(1, 1,
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