#
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第二章 分离变量法第一节 有界弦的自由振动第二节 有限长杆上的热传导第三节 特殊区域上的位势方程第四节 对非齐次边界条件和非齐次方程的处理第一节 有界弦的自由振动该定解问题的特点: 偏微分方程是线性二阶齐次的边界条件也是齐次的求解这类的问题可以运用叠加原理求解的基本步骤第一步:求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式
第四章 分离变量法一分离变量法的精神和解题要领1.分离变量法的精神将未知函数按多个单元函数分开如令从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解2.分离变量法的解题步骤用分离变量法求解偏微分方程分4步(1)分离变量:将未知函数表示为若干单元函数的乘积代入齐次方程和齐次边界条件得到相应的特值问题和其它常微分方程(2)求解特征值问题(3)求解其它常微分方程并将求得的解与特征函数相乘得到
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第十四章 分离变量法数学物理方法——定解问题最常用的解法——分离变量法核心思想:将未知函数按多个单元函数分开偏微分方程?若干常微分方程 求解常微分方程: 特解?线性无关的特解叠加出通解?用定解条件定出叠加系数求解一阶线性偏微分方程: 转化为一阶线性常微分方程二阶及高阶偏微分方程:难以定出待定系数分离变量法:
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级1分离变量法的基本思想: 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解然后由叠加原理作出这些解的线性组合最后由其余的定解条件确定叠加系数(1) 叠加原理:几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加(物理上) 叠加原理对于用线性方程描述的物理现象来说都是成立的(数学上)2线性定解
偏微分方程?若干常微分方程 …………………………所希望的特解 选取相应的齐次定解条件与其中一个常微分方程构成本征值问题 ∵ ∴ 即 相应的本征函数为 小 结分离变量法求解偏微分方程的基本步骤: ? 分离变量(齐次条件) ? 求解本征值
#
#
选辅助函数 w(x, t),83 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件不能分离变量!用本征函数展开法求解1 边界条件的齐次化v = u – w 满足齐次边界条件!12 辅助函数的选取 直线辅助函数 抛物线辅助函数2例1:求解弦振动,左端固定,右端运动 sin(ωt)解:(2) 选辅助函数(1) 定解问题3(3) 按本征函数展开4问题的解:u = w + v5例2:半带形区域内的电势解:关于 y
有界弦的自由振动 纯强迫振动非齐次边界条件的处理正交曲线坐标系中的分离变量 掌握用分离变量法求解各种有界问题第八章 分离变量法Variable separation approach181 有界弦的自由振动1 常微分方程的本征问题定义:设某齐次常微分方程中有待定常数 ?。仅当 ? 取某些特定的值时,该方程在给定齐次边界条件下才有非零解。称这些特定值及相应解为该方程在给定边界条件下的本征值和本
违法有害信息,请在下方选择原因提交举报