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设有齐次线性方程组(1)若 为 的解则 我们已经知道对于n个方程n个未知量所组成的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零现在要考虑对于更一般的齐次线性方程组有非零解的充要条件问依次得2.解空间的基又称为方程组的基础解系.即方程组有无穷多解求解线性方程组的步骤:x)
由以上两个性质可知齐次线性方程组的全体解向量所组成集合关于向量的加法运算和数乘运算是封闭的
直接方法(高斯简单消去法 选主 元消去法 高斯—约当消去法 三角分解法 )范数与误差分析迭代法直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差)Jacobi迭代法的计算过程如下:40高斯—塞德尔迭代法(续4)45松弛法(续2)50矩阵的谱半径定理(续)55例 子60迭代法收敛性例题65误差估计(续1)70
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第四节 非齐次线性方程组一 非齐次线性方程组Ax=b的解结构非齐次线性方程组中Ax=b的常数项都换成01 定义得到齐次线性方程组称它为非齐次线性方程组Ax=b的导出方程组或称为与方程组Ax=b对应的齐次方程组 Ax=0则是(1)设是的解(2)是的解是的解的解则是的解2 非齐次线性方程组Ax=b的解的结构定理1 非齐次线性
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单击此处编辑母版标题样式一线性方程组有解的判定条件问题:证必要性.()nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=()根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而这与原方程组有非零解相矛盾().nAR<即充分性.()nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为1其余自由未知量为0即可得方程组的一个非零解 .证必要性.有解设方程组bAx=()()BRAR<设则B的行阶梯形矩阵中最
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级§1 引言与预备知识第5章 解线性代数方程组的直接法一引言线性方程组的来源线性方程组的分类线性方程组的两类解法:1直接法2迭代法二向量和矩阵(略)三特殊矩阵对角矩阵三对角矩阵上三角矩阵上海森伯(Hessenberg)阵对称矩阵埃尔米特矩阵对称正定矩阵正交矩阵酉矩阵初等置换阵置换阵定理1 设A∈Rnⅹn A非奇异?…定理2
§4线 性 方 程 组 的 解一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法一、线性方程组有解的判定条件1 线性方程组系数矩阵为线性方程组可记为:1)m=n 时, A 是 n 阶方阵 , 若 |A| ? 0 , 则可用克莱默法则求解 , 或用 A 的逆矩阵表示解 2)对一般的情况如何判定有没有解有解时如何求解例1若某方程组经同解变换化为显然,有唯一解例2若某方程组经同解变换化为显然,无解例3 解
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