第二节 函数的极限例1或证:证:ff存在函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在且相等
第二节函数的极限一 函数极限的定义二 函数极限的性质一、函数极限的定义本节仿照数列极限讨论给出函数极限,先给出函数极限的一般概念:在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近某个确定常数,那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限。函数的极限与自变量的变化过程有关。自变量的变化过程不同,函数极限的形式就不同。主要研究两种情形:1 自变量趋于无穷大时函数的极限另两种情形几何解释证:证明:2
第一节 数列的极限2) 数列是整标函数如果数列没有极限就说数列是发散的例2定理1 收敛的数列只有一个极限注1 有界性是数列收敛的必要条件例如 自然数列
第八节 连续函数的性质2. 反函数与复合函数的连续性同理可得定理6 一切初等函数在其定义区间内都是 连续的例3二闭区间上连续函数的性质定义 如果存在 使 f ( x ) = 0 则 称 为函数 f ( x ) 的零点证:例8 若 在 上连续且
第一节数列的极限二 收敛数列的性质一 数列极限的定义一、数列极限的定义例如1数列注意播放2 数列的极限如果数列没有极限,就说数列是发散的。注意几何解释其中数列极限的定义未给出求极限的方法。例1证:所以,注意例2证:证:二、收敛数列的性质1 收敛数列的唯一性故收敛数列极限唯一。定理1收敛的数列只有一个极限。证:区间长度为1不可能同时位于长度为1的区间内,定理2收敛的数列必定有界。证:2 收敛数列的有
一函数的有界性二函数的单调性三函数的奇偶性四函数的周期性第二节函数几种特性五反函数一、函数的有界性有界无界二、函数的单调性例如函数在 内是单调增 加的。如图所示。例如函数在内是单调减少的,在 内是单调增加的。如图所示。三、函数的奇偶性偶函数奇函数 奇函数的图形对称于原点不满足上述性质的函数为非奇非偶函数。例如 四、函数的周期性例如并非所有的周期函数都有最小正周期均为周期函数,但没有最小正周期。五、
一 函数的概念一 函数的概念函数的表示方法:xxo
第三节 初等函数二复合函数一基本初等函数三初等函数一、基本初等函数如下图所示2 幂函数3指数函数4 对数函数对数函数与指数函数互为反函数5 三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数6反三角函数它们均为有界函数。二、 复合函数对函数除了可以作加,减,乘,除四则运算之外,还有复合运算。注:不是任何函数都可以复合成一个函数。解:解:显然给出的函数符合复合的条件,因此是没有意义的。不满足复
一 函数的概念二 特殊的函数第一节 常量与变量 函数关系因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域,函数值全体组成的数集一、 函数的概念自变量因变量对应法则f约定定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。 如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。 2 单值函数与多值函数例1符号函数二、 几个特殊的函数举例阶梯曲线例2取整函数例3 狄利
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