第四节 一阶线性微分方程1、线性方程2、伯努利方程3、小结一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的上方程称为非齐次的一、线性方程例如线性的;非线性的齐次方程的通解为1 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2 线性非齐次方程讨论两边积分非齐方程通解形式与齐方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法实质: 未知函数的变量代换作变换积分得一阶线性非齐次微分方程
第四节全微分方程内容分布图示★ 全微分方程及其解法★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4★ 积分因子法★ 用观察法求积分因子★ 例5★ 例6★ 例7★ 内容小结★ 练习★ 习题124★ 返回内容要点: 一、全微分方程如果方程 (41)的左端恰好是某个函数的全微分:则称方程(41)为全微分方程 此时,方程(41)可写成因而就是方程(41)的通解,其中为任意常数 这样,求解方程(41)实质就归结为求
称复根解解
第二章 自动控制系统的数学模型9/6/20231本章的主要内容控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式脉冲响应函数各种数学模型的相互转换9/6/20232概述[数学模型]:描述控制系统变量(物理量)之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程,传递函数,结构图,信号流图,频率特性以及状态空间描述等。例如对一个微分方程,若已知初值
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第八节 高阶线性微分方程1、概念的引入2、线性微分方程的解的结构3、降阶法与常数变易法4、小结一、概念的引入解受力分析物体自由振动的微分方程强迫振动的方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程返回二、线性微分方程的解的结构1二阶齐次方程解的结构:问题:例如线性无关线性相关特别地:例如2二阶非齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理返回三、降阶法与常
既容易计算又是较好的近似值(2) 充分性五微分的求法微分形式的不变性七小结★
第二章 自动控制系统的数学模型 控制系统如按照数学模型分类的话可以分为线性和非线性系统定常系统和时变系统4第一节 控制系统的微分方程R图1[定义] 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统在此系统中分别与 为相似量非线性环节微分方程的线性化y非线性环节微分方程的线性化14 线性系统微分方程的编写例子[
第七章(1) 代换因变量例1 求下列方程的通解调换自变量与因变量的地位 5将 代入有此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微提示: (1)令 t = x – 1 则消去 C 得提示: 这是一阶线性方程 其中1516代回原变量得(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 为平行直线关键问题是正确建立数学模型 ( 求解过程参考P306例2
第四节 可降阶的二阶微分方程一 型的微分方程三 型的微分方程二 型微分方程一 型的微分方程微分方程的右端仅含自变量 x 通过n次积分得:二阶微分方程令则原方程就可化为一阶方程:该一阶方程的通解为:于是有积分得:即原方程的通解.二 型的微分方程代入原方程 得解法:特点:P(x)的(n-k)阶方程可得通解.
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