时注:有的书上对内积用(? ? )表示定义则因此该定积分满足内积定义的4个条件因而它也是V中某一向量若对于若? ? 线性无关则对于任意k ?R 都有下面证等号成立的充要条件是? ? 线性相关或者例4在欧氏空间Rn中向量组则小 结(2) 由V是n维欧氏空间??0知在V中必可找到n?1个向量?1 ?2 …?n?1使? ?1 ?2 …?n?1为线性无关向量组.因此只能 dim{M}=n?1.
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东北大学秦皇岛分校向量的长度:2)线性空间 定义2)长度满足性质:定义 3 非零向量 的夹角 规定为: 如果向量 两两正交则有2)不同基下的度量矩阵合同性质:单位化 例 把如果存在由 到 的一个双射 且对任意的§4.正交变换也是标准正交基正交变换的分类:那么和 是直和.本节主要结果:则对任
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第八章 欧氏空间8.1 向量的内积8.2 正交基8.3 正交变换8.4 对称变换和对称矩阵 8.1 向量的内积一内容分布 8.1.1向量的内积欧氏空间的定义8.1.2向量的长度两非零向量的夹角8.1.3两向量正交正交向量组的定义性质 二教学目的:1.理解以下概念及其基本性质:向量的内积欧氏空间向量的长度单位向量
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广 但是只定义了线性运算 而三维空间中有向量夹角和长度的概念它们构成了三维空间丰富的内容.§3.5 欧氏空间我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中. 在解析几何中我们曾定义了向量的内积(数量积)建立标准的直角坐标系后 可用向量的坐标来计算内积设则(标准)内积一内积的定义
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§ Rn中的度量与正交变换 关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质:设V是一个向量空间 U?V 若U也构成一个向量空间 则称U为V是一个子空间.由定义 对???V ?唯一的一组有序实数 k1 k2 … kr使得? = k1?1k2?2…kr?r . ??1 ?1 1 1 ?1 1 事实上 对于这个例子 除了A3 A4以外 A1 A2 A3 A4中任意两个向量都构成L(A1 A
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单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第3.6节 欧氏空间线性代数主要内容:一.内积的概念二.标准正交基的向量组三.正交矩阵一内积的概念定义1:n维实向量称为向量 与 的内积若 为行向量则向量内积的性质:线性性对称性等号成立当且仅当正定性定义2:实数称为向量的长度(或模或范数)若称 为单位向量把向量单位化:若则考虑即
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