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  第2章 数列极限§ 数列极限的概念一 基本内容一数列极限的定义．在用定义证明极限时有两种方法．1 分析法由不等式寻找与的关系从而求N的方法称为分析法．2 综合法由经放大得到n的简易表达式从而求出N的方法称为综合法．二数列发散的定义．数列发散外有的无穷多项．三无穷小数列数列称为无穷小．性质(1)　无穷小的和差仍是无穷小 (2)　无穷小的积仍是无穷小(3)　无穷小与有界量的积仍是无穷小(4

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  函数数列以及极限的综合题例 已知函数的图象是自原点出发的一条折线．当时该图象是斜率为的线段(其中正常数)设数列由定义． 求：(1)求和的表达式(2)求的表达式并写出其定义域 (3)证明：的图像与的图象没有横坐标大于1的交点．分析：本题主要考查函数的基本概念等比数列数列极限的基础知识考查归纳推理和综合的能力．(1)由斜率分式求出同样由斜率公式求出关于的递推式然后求出(2)由点斜式求出段

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  求第一类函数的极限例 讨论下列函数当时的极限：(1)(2)(3)分析：先作出函数的图像根据函数极限的定义观察分析函数值的变化趋势来讨论所给函数的极限．解：作出所给各函数的图像由图像可知：(1)不存在不存在(2)(3)不存在．说明：函数当时的极限与数列当时的极限不同前者包括当时的极限当时的极限只有时的极限才存在．由于容易错误地认为．事实上不存在所以的极不存在．求函数的左右极限例 讨论下列函

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  第二章 数列极限 习题2．按定义证明：(1)证明 因为 所以取必有. 故(2)证明 因为 于是取有 . 所以(3)证明 因为 于是取必有 . 所以(4)证明 因为于是取必有 . 所以(5)证明 因为设于是从而所以取有 . 故3．根据例2例4和例5的结果求出下列极限并指出哪些是无穷小数列：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)解 (1)(用例2的结果)无穷小数列. (2)(用例5

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  练习利用数列极限的定义证明.(1)证明：(2)证明：(3)证明：(4)证明：(5)证明：(6)证明：(7)证明：(8)证明：(9)证明：(10)证明：(11)证明：(12)证明：(13)证明： 当时存在对时有(14)证明：(15)证明： 由 故对上述取有.(16)证明：(17)证明：(18)证明：(19)证明：设则所以. 因此有 有(20)证明：有2．证明下列数列是收敛的(1)证明：递增又因

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  1已知数列，求该数列的极限解：因为(1)证明该数列单调递减因为所以即该数列单调递减。(2)证明该数列有下界，即该数列的下界为。(3)求该数列的极限由单调有界准则，该数列的极限存在。设则对两端同时取极限得，所以

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  ——刘徽41割圆术：割之弥细所失弥少割之又割以至于不可割则与圆周合体而无所失矣一概念的引入2截丈问题：注意：三数列的极限18三数列的极限23三数列的极限28的定义可缩写为:数列极限的几何意义要使证证45由定义定理3方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.L思考题1证

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  分类讨论求极限例 已知数列都是由正数组成的等比数列公比分别为其中且设为数列的前项和求. (1997年全国高考试题理科难度)解： . 分两种情况讨论(1)当时∵ 故∴(2)当时∵ ∴ . 说明：该题综合考查了数列的基础知识恒等变形的能力分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．自变量趋向无穷时函数的极限例 求下列极限：(1)(2)分析：第(1)题中当 时分子分母都趋于无穷大属于型变