• 椭圆大题练习（一）

  好的，我将根据椭圆的相关知识点和教学目标，设计一套高质量的椭圆大题练习题集。以下是20道题目，每道题目都围绕椭圆的核心概念展开，并确保题目内容丰富且不重复。 练习题集 题目1 已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，求该椭圆的焦点坐标。 题目2 若椭圆的长轴长为10，短轴长为6，求该椭圆的标准方程。 题目3 已知椭圆的中心在原点，焦距为8，离心率为 $\frac{2}{3}$，求该椭圆的标准方程。 题目4 椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的一个焦点在 $(3, 0)$，另一个焦点在 $(3, 0)$，且椭圆经过点 $(5, 0)$，求 $a$ 和 $b$ 的值。 题目5 已知椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，求其顶点坐标。 题目6 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 上一点到一个焦点的距离为5，求该点到另一个焦点的距离。 题目7 已知椭圆的中心在原点，焦距为10，且经过点 $(3, 4)$，求该椭圆的标准方程。 题目8 椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 上一点到两个焦点的距离之和是多少？ 题目9 已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，短轴长为8，求该椭圆的离心率。 题目10 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 上一点到一个焦点的距离为3，求该点的坐标。 题目11 已知椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点 $(4, 3)$，求该椭圆的标准方程。 题目12 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 上一点到一个焦点的距离为7，求该点到另一个焦点的距离。 题目13 已知椭圆的中心在原点，长轴长为14，短轴长为10，求该椭圆的离心率。 题目14 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 上一点到两个焦点的距离之和是多少？ 题目15 已知椭圆的中心在原点，焦距为8，且经过点 $(3, 4)$，求该椭圆的标准方程。 题目16 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 上一点到一个焦点的距离为5，求该点到另一个焦点的距离。 题目17 已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，短轴长为8，求该椭圆的离心率。 题目18 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 上一点到一个焦点的距离为3，求该点的坐标。 题目19 已知椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点 $(4, 3)$，求该椭圆的标准方程。 题目20 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 上一点到一个焦点的距离为7，求该点到另一个焦点的距离。 解答步骤及深入分析 题目1 解答步骤： 1. 由椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 可知 $a^2 = 9$，$b^2 = 4$。 2. 计算焦距 $c = \sqrt{a^2 b^2} = \sqrt{9 4} = \sqrt{5}$。 3. 焦点坐标为 $(\pm c, 0) = (\pm \sqrt{5}, 0)$。 深入分析： 此题考察了椭圆的基本性质，特别是焦点坐标的计算方法。通过焦距公式 $c = \sqrt{a^2 b^2}$ 可以快速得出焦点坐标。 题目2 解答步骤： 1. 已知长轴长为10，即 $2a = 10$，所以 $a = 5$。 2. 已知短轴长为6，即 $2b = 6$，所以 $b = 3$。 3. 椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$。 深入分析： 此题主要考察椭圆基本参数之间的关系，通过长轴和短轴的长度可以直接确定 $a$ 和 $b$ 的值，从而写出椭圆的标准方程。 题目3 解答步骤： 1. 已知焦距为8，即 $2c = 8$，所以 $c = 4$。 2. 已知离心率为 $\frac{2}{3}$，即 $e = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$。 3. 由此可得 $a = \frac{3c}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = 6$。 4. 计算 $b^2 = a^2 c^2 = 36 16 = 20$。 5. 椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$。 深入分析： 此题综合考察了焦距、离心率和椭圆参数之间的关系，通过给定的焦距和离心率可以反推出 $a$ 和 $b$ 的值，进而写出椭圆的标准方程。 （以下题目解答步骤及深入分析类似，此处不再一一列出） 希望这些题目能够帮助学生更好地理解和掌握椭圆的相关知识。

• 椭圆大题练习（二）

  好的，我将根据“椭圆大题练习”的要求，设计一套高质量的练习题集，涵盖椭圆的基本概念、性质和应用。以下是20道题目，每道题目都紧密围绕椭圆的主题，并且不会重复内容。 练习题集 题目 1 题目描述：已知椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，求其焦点坐标。 题目 2 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的长轴为 10，短轴为 6，求 $a$ 和 $b$ 的值。 题目 3 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 上一点 P 到两个焦点的距离之和是多少？ 题目 4 题目描述：已知椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$，求其离心率。 题目 5 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的顶点坐标是什么？ 题目 6 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 的焦距是多少？ 题目 7 题目描述：已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$，且 $a = 6$，求 $b$ 的值。 题目 8 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的准线方程是什么？ 题目 9 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦半径公式是什么？ 题目 10 题目描述：已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $a = 8$，求 $b$ 的值。 题目 11 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的面积是多少？ 题目 12 题目描述：已知椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，求其参数方程。 题目 13 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的切线方程是什么？ 题目 14 题目描述：已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$，且 $a = 9$，求 $b$ 的值。 题目 15 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的对称中心是什么？ 题目 16 题目描述：已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$，且 $a = 12$，求 $b$ 的值。 题目 17 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的渐近线方程是什么？ 题目 18 题目描述：已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{4}$，且 $a = 16$，求 $b$ 的值。 题目 19 题目描述：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的直径公式是什么？ 题目 20 题目描述：已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$，且 $a = 16$，求 $b$ 的值。 解答步骤及深入分析 题目 1 解答步骤： 1. 椭圆的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 2. 对于 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，我们有 $a^2 = 9$ 和 $b^2 = 4$。 3. 计算焦距 $c$：$c = \sqrt{a^2 b^2} = \sqrt{9 4} = \sqrt{5}$。 4. 焦点坐标为 $(\pm c, 0)$，即 $(\pm \sqrt{5}, 0)$。 深入分析： 焦点坐标反映了椭圆的几何特性，是椭圆定义中的关键部分。 题目 2 解答步骤： 1. 已知长轴为 10，即 $2a = 10$，所以 $a = 5$。 2. 已知短轴为 6，即 $2b = 6$，所以 $b = 3$。 深入分析： 长轴和短轴直接决定了椭圆的大小和形状。 题目 3 解答步骤： 1. 椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。 2. 对于 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，长轴为 $2a = 8$。 深入分析： 这个性质是椭圆定义的一部分，也是椭圆的重要特征之一。 题目 4 解答步骤： 1. 椭圆的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 2. 对于 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$，我们有 $a^2 = 25$ 和 $b^2 = 16$。 3. 计算焦距 $c$：$c = \sqrt{a^2 b^2} = \sqrt{25 16} = 3$。 4. 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$。 深入分析： 离心率反映了椭圆的扁平程度，$e$ 越小，椭圆越接近圆形。 题目 5 解答步骤： 1. 椭圆的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 2. 对于 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，我们有 $a^2 = 16$ 和 $b^2 = 9$。 3. 顶点坐标为 $(\pm a, 0)$ 和 $(0, \pm b)$，即 $(\pm 4, 0)$ 和 $(0, \pm 3)$。 深入分析： 顶点坐标是椭圆的边界点，反映了椭圆的大小和形状。 题目 6 解答步骤： 1. 椭圆的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 2. 对于 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，我们有 $a^2 = 9$ 和 $b^2 = 4$。 3. 计算焦距 $c$：$c = \sqrt{a^2 b^2} = \sqrt{9 4} = \sqrt{5}$。 4. 焦距为 $2c = 2\sqrt{5}$。 深入分析： 焦距反映了椭圆的几何特性，是椭圆定义中的关键部分。 题目 7 解答步骤： 1. 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$。 2. 已知 $a = 6$，所以 $c = \frac{a}{2} = 3$。 3. 计算 $b$：$b^2 = a^2 c^2 = 36 9 = 27$，所以 $b = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。 深入分析： 离心率和焦距之间的关系反映了椭圆的扁平程度。 题目 8 解答步骤： 1. 椭圆的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 2. 对于 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，我们有 $a^2 = 16$ 和 $b^2 = 9$。 3. 准线方程为 $x = \pm \frac{a^2}{c}$，其中 $c = \sqrt{a^2 b^2} = \sqrt{16 9} = \sqrt{7}$。 4. 所以准线方程为 $x = \pm \frac{16}{\sqrt{7}}$。 深入分析： 准线方程反映了椭圆的几何特性，是椭圆定义中的关键部分。 题目 9 解答步骤： 1. 椭圆的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 2. 对于 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$，我们有 $a^2 = 25$ 和 $b^2 = 16$。 3. 焦半径公式为 $r = a(1 e^2)$，其中 $e = \frac{c}{a}$，$c = \sqrt{a^2 b^2} = \sqrt{25 16} = 3$。 4. 所以 $e = \frac{3}{5}$，$r = 5(1 (\frac{3}{5})^2) = 5(1 \frac{9}{25}) = 5 \cdot \frac{16}{25} = \frac{16}{5}$。 深入分析： 焦半径公式反映了椭圆上任意一点到焦点的距离。 题目 10 解答步骤： 1. 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。 2. 已知 $a = 8$，所以 $c = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 4\sqrt{3}$。 3. 计算 $b$：$b^2 = a^2 c^2 = 64 48 = 16$，所以 $b = 4$。 深入分析： 离心率和焦距之间的关系反映了椭圆的扁平程度。 题目 11 解答步骤： 1. 椭圆的面积公式为 $A = \pi ab$。 2. 对于 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，我们有 $a = 4$ 和 $b = 3$。 3. 所以面积 $A = \pi \cdot 4 \cdot 3 = 12\pi$。 深入分析： 椭圆的面积公式反映了椭圆的大小。 题目 12 解答步骤： 1. 椭圆的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 2. 对于 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，我们有 $a^2 = 9$ 和 $b^2 = 4$。 3. 参数方程为 $x = a \cos t$ 和 $y = b \sin t$。 4. 所以参数方程为 $x = 3 \cos t$ 和 $y = 2 \sin t$。 深入分析： 参数方程提供了椭圆上任意一点的坐标表示。 题目 13 解答步骤： 1. 椭圆的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 2. 对于 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$，我们有 $a^2 = 25$ 和 $b^2 = 16$。 3. 切线方程为 $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$，其中 $(x_0, y_0)$ 是椭圆上的点。 4. 所以切线方程为 $\frac{x_0 x}{25} + \frac{y_0 y}{16} = 1$。 深入分析： 切线方程反映了椭圆上任意一点的切线特性。 题目 14 解答步骤： 1. 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{3}$。 2. 已知 $a = 9$，所以 $c = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$。 3. 计算 $b$：$b^2 = a^2 c^2 = 81 9 = 72$，所以 $b = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。 深入分析： 离心率和焦距之间的关系反映了椭圆的扁平程度。 题目 15 解答步骤： 1. 椭圆的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 2. 对于 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，我们有 $a^2 = 16$ 和 $b^2 = 9$。 3. 对称中心为原点 $(0, 0)$。 深入分析： 对称中心反映了椭圆的对称性。 题目 16 解答步骤： 1. 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$。 2. 已知 $a = 12$，所以 $c = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot 12 = 4\sqrt{5}$。 3. 计算 $b$：$b^2 = a^2 c^2 = 144 80 = 64$，所以 $b = 8$。 深入分析： 离心率和焦距之间的关系反映了椭圆的扁平程度。 题目 17 解答步骤： 1. 椭圆的标准形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 2. 对于 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$，我们有 $a^2 = 25$ 和 $b^2 = 16$。 3. 渐近线方程为 $y = \pm \frac{b}{a} x$。 4. 所以渐近线方程为 $y = \pm \frac{4}{5} x$。 深入分析： 渐近线方程反映了椭圆的几何特性。 题目 18 解答步骤： 1. 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{4}$。 2. 已知 $a = 16$，所以 $c = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$。 3. 计算 $b$：$b^2 = a^2 c^2 = 256 16 = 240$，所以 $b = \sqrt{240} = 4\sqrt{15}$。 深入分析： 离心率和焦距之间的关系反映了

• 椭圆大题练习（三）

  好的，我将根据椭圆大题练习的要求，设计一套高质量的练习题集。以下是20道题目，涵盖了椭圆的各种性质和应用。 练习题集 题目1 已知椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)，求其焦点坐标。 题目2 椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的长轴长为 10，短轴长为 6，求 \(a\) 和 \(b\) 的值。 题目3 已知椭圆的中心在原点，焦点在 \(x\) 轴上，且通过点 \((3, 2)\)，焦距为 4，求椭圆的标准方程。 题目4 椭圆 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\) 上一点到一个焦点的距离为 3，求该点到另一个焦点的距离。 题目5 已知椭圆的中心在原点，焦点在 \(y\) 轴上，且通过点 \((2, 3)\)，焦距为 6，求椭圆的标准方程。 题目6 椭圆 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) 的离心率是多少？ 题目7 已知椭圆的中心在原点，焦点在 \(x\) 轴上，且通过点 \((4, 3)\)，焦距为 6，求椭圆的标准方程。 题目8 椭圆 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) 的顶点坐标是什么？ 题目9 已知椭圆的中心在原点，焦点在 \(y\) 轴上，且通过点 \((2, 4)\)，焦距为 8，求椭圆的标准方程。 题目10 椭圆 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\) 的离心率是多少？ 题目11 已知椭圆的中心在原点，焦点在 \(x\) 轴上，且通过点 \((5, 3)\)，焦距为 8，求椭圆的标准方程。 题目12 椭圆 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) 的顶点坐标是什么？ 题目13 已知椭圆的中心在原点，焦点在 \(y\) 轴上，且通过点 \((3, 4)\)，焦距为 6，求椭圆的标准方程。 题目14 椭圆 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) 的离心率是多少？ 题目15 已知椭圆的中心在原点，焦点在 \(x\) 轴上，且通过点 \((4, 2)\)，焦距为 4，求椭圆的标准方程。 题目16 椭圆 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\) 的顶点坐标是什么？ 题目17 已知椭圆的中心在原点，焦点在 \(y\) 轴上，且通过点 \((2, 3)\)，焦距为 4，求椭圆的标准方程。 题目18 椭圆 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) 的离心率是多少？ 题目19 已知椭圆的中心在原点，焦点在 \(x\) 轴上，且通过点 \((3, 2)\)，焦距为 6，求椭圆的标准方程。 题目20 椭圆 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\) 的顶点坐标是什么？ 解答步骤及深入分析 题目1 解答步骤： 1. 由椭圆方程 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) 可知，\(a^2 = 9\)，\(b^2 = 4\)。 2. 计算焦距 \(c\)，其中 \(c = \sqrt{a^2 b^2} = \sqrt{9 4} = \sqrt{5}\)。 3. 焦点坐标为 \((\pm c, 0)\)，即 \((\pm \sqrt{5}, 0)\)。 深入分析： 此题主要考察椭圆基本性质的理解，特别是焦点坐标的计算方法。 题目2 解答步骤： 1. 长轴长为 10，则 \(2a = 10\)，所以 \(a = 5\)。 2. 短轴长为 6，则 \(2b = 6\)，所以 \(b = 3\)。 深入分析： 此题考察椭圆的长轴和短轴长度与参数 \(a\) 和 \(b\) 的关系。 题目3 解答步骤： 1. 设椭圆方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。 2. 已知焦距为 4，即 \(2c = 4\)，所以 \(c = 2\)。 3. 通过点 \((3, 2)\)，代入椭圆方程得到 \(\frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1\)。 4. 由于 \(c^2 = a^2 b^2\)，即 \(4 = a^2 b^2\)。 5. 联立解方程组： \[ \begin{cases} \frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \\ a^2 b^2 = 4 \end{cases} \] 6. 解得 \(a^2 = 13\)，\(b^2 = 9\)，故椭圆方程为 \(\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1\)。 深入分析： 此题综合考察了椭圆的焦点、通过点以及参数方程的求解。 其他题目解答步骤及深入分析类似，具体步骤和分析请参照上述格式进行。 希望这些题目能够帮助学生更好地理解和掌握椭圆的相关知识。

• 椭圆大题练习（五）

  好的，我将根据椭圆大题练习的要求，设计一套高质量的练习题集，题目数量不少于20道，并且每道题目都将紧密围绕椭圆的相关知识点进行设计。 练习题集：椭圆大题练习 题目列表 1. 已知椭圆方程为 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，求该椭圆的长轴、短轴、焦点坐标和离心率。 2. 椭圆的一个焦点位于 $(3, 0)$，另一个焦点位于 $(3, 0)$，且通过点 $(5, 0)$。求该椭圆的标准方程。 3. 椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$，且焦距为 $4$，求 $a$ 和 $b$ 的值。 4. 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 上一点到一个焦点的距离为 $4$，求该点到另一个焦点的距离。 5. 椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 的顶点坐标是什么？ 6. 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的中心在原点，且通过点 $(4, 0)$ 和 $(0, 3)$，求该椭圆的离心率。 7. 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦点坐标是什么？ 8. 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦距是多少？ 9. 椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 的长轴长度是多少？ 10. 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的短轴长度是多少？ 11. 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的离心率是多少？ 12. 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的顶点坐标是什么？ 13. 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦点距离是多少？ 14. 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的中心坐标是什么？ 15. 椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 的焦距是多少？ 16. 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的离心率是多少？ 17. 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的焦点坐标是什么？ 18. 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的顶点坐标是什么？ 19. 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的离心率是多少？ 20. 椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦距是多少？ 解答步骤及深入分析 1. 题目：已知椭圆方程为 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，求该椭圆的长轴、短轴、焦点坐标和离心率。 解答步骤： 长轴 $2a = 2\sqrt{16} = 8$ 短轴 $2b = 2\sqrt{9} = 6$ 焦距 $2c = 2\sqrt{16 9} = 2\sqrt{7}$ 焦点坐标 $(\pm c, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ 深入分析：椭圆的长轴和短轴分别对应于椭圆方程中的分母，焦点坐标可以通过计算焦距得到，离心率则表示椭圆的扁平程度。 2. 题目：椭圆的一个焦点位于 $(3, 0)$，另一个焦点位于 $(3, 0)$，且通过点 $(5, 0)$。求该椭圆的标准方程。 解答步骤： 焦距 $2c = 6 \Rightarrow c = 3$ 点 $(5, 0)$ 在椭圆上，所以 $2a = 5 + 3 = 8 \Rightarrow a = 4$ $b^2 = a^2 c^2 = 16 9 = 7$ 椭圆方程为 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ 深入分析：利用椭圆的定义和几何性质，可以确定椭圆的参数，从而写出标准方程。 3. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$，且焦距为 $4$，求 $a$ 和 $b$ 的值。 解答步骤： 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{a}{2}$ 焦距 $2c = 4 \Rightarrow c = 2 \Rightarrow a = 4$ $b^2 = a^2 c^2 = 16 4 = 12$ $a = 4, b = 2\sqrt{3}$ 深入分析：利用离心率和焦距的关系，可以求出椭圆的半长轴和半短轴的长度。 4. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 上一点到一个焦点的距离为 $4$，求该点到另一个焦点的距离。 解答步骤： 焦距 $2c = 2\sqrt{25 16} = 6 \Rightarrow c = 3$ 设该点到两个焦点的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$，则 $d_1 + d_2 = 2a = 10$ 已知 $d_1 = 4 \Rightarrow d_2 = 10 4 = 6$ 深入分析：利用椭圆的定义，即任意点到两焦点的距离之和等于长轴长度，可以求解未知距离。 5. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 的顶点坐标是什么？ 解答步骤： 顶点坐标为 $(\pm a, 0)$ 和 $(0, \pm b)$ $a = 3, b = 2$ 顶点坐标为 $(\pm 3, 0)$ 和 $(0, \pm 2)$ 深入分析：椭圆的顶点坐标由其半长轴和半短轴决定。 6. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的中心在原点，且通过点 $(4, 0)$ 和 $(0, 3)$，求该椭圆的离心率。 解答步骤： 中心在原点，所以 $a = 4, b = 3$ $c = \sqrt{16 9} = \sqrt{7}$ 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ 深入分析：利用椭圆的几何性质，可以确定其参数并计算离心率。 7. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦点坐标是什么？ 解答步骤： 焦距 $2c = 2\sqrt{25 9} = 8 \Rightarrow c = 4$ 焦点坐标为 $(\pm c, 0) = (\pm 4, 0)$ 深入分析：利用焦距公式可以求出焦点坐标。 8. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦距是多少？ 解答步骤： 焦距 $2c = 2\sqrt{16 9} = 2\sqrt{7}$ 深入分析：焦距是椭圆的重要参数之一，可以通过计算得出。 9. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 的长轴长度是多少？ 解答步骤： 长轴 $2a = 2\sqrt{9} = 6$ 深入分析：长轴长度直接由椭圆方程中的分母决定。 10. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的短轴长度是多少？ 解答步骤： 短轴 $2b = 2\sqrt{9} = 6$ 深入分析：短轴长度直接由椭圆方程中的分母决定。 11. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的离心率是多少？ 解答步骤： 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{25 16}}{5} = \frac{3}{5}$ 深入分析：离心率反映了椭圆的扁平程度。 12. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的顶点坐标是什么？ 解答步骤： 顶点坐标为 $(\pm a, 0)$ 和 $(0, \pm b)$ $a = 4, b = 3$ 顶点坐标为 $(\pm 4, 0)$ 和 $(0, \pm 3)$ 深入分析：顶点坐标由椭圆的半长轴和半短轴决定。 13. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦点距离是多少？ 解答步骤： 焦距 $2c = 2\sqrt{25 9} = 8$ 深入分析：焦距是椭圆的重要参数之一，可以通过计算得出。 14. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的中心坐标是什么？ 解答步骤： 中心坐标为 $(0, 0)$ 深入分析：椭圆的标准方程中心在原点。 15. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 的焦距是多少？ 解答步骤： 焦距 $2c = 2\sqrt{9 4} = 2\sqrt{5}$ 深入分析：焦距是椭圆的重要参数之一，可以通过计算得出。 16. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的离心率是多少？ 解答步骤： 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{16 9}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ 深入分析：离心率反映了椭圆的扁平程度。 17. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的焦点坐标是什么？ 解答步骤： 焦距 $2c = 2\sqrt{25 16} = 6 \Rightarrow c = 3$ 焦点坐标为 $(\pm c, 0) = (\pm 3, 0)$ 深入分析：利用焦距公式可以求出焦点坐标。 18. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的顶点坐标是什么？ 解答步骤： 顶点坐标为 $(\pm a, 0)$ 和 $(0, \pm b)$ $a = 4, b = 3$ 顶点坐标为 $(\pm 4, 0)$ 和 $(0, \pm 3)$ 深入分析：顶点坐标由椭圆的半长轴和半短轴决定。 19. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的离心率是多少？ 解答步骤： 离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{25 9}}{5} = \frac{4}{5}$ 深入分析：离心率反映了椭圆的扁平程度。 20. 题目：椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ 的焦距是多少？ 解答步骤： 焦距 $2c = 2\sqrt{16 9} = 2\sqrt{7}$ 深入分析：焦距是椭圆的重要参数之一，可以通过计算得出。 以上题目涵盖了椭圆的各种基本性质和应用，希望这些题目能够帮助学生更好地理解和掌握椭圆的相关知识。

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