• 三线合一练习题（二）

  好的，我将根据“三线合一”的主题，为学生们设计一套高质量的练习题集。这些题目将涵盖几何中的重要概念，帮助学生理解和应用三线合一（即三角形的中线、高线和角平分线）的相关性质。 练习题集 题目 1 题目描述：在三角形ABC中，D是BC边上的中点，AD是中线。如果AB = 5 cm，AC = 7 cm，求AD的长度。 题目 2 题目描述：已知三角形DEF中，E到DF边的高EH = 6 cm，DF = 10 cm。求三角形DEF的面积。 题目 3 题目描述：在三角形GHI中，GI = 12 cm，GH = 16 cm，HI = 20 cm。证明GI边上的高线等于GI的一半。 题目 4 题目描述：三角形JKL中，JL边上的中线JM = 10 cm，且JM垂直于JL。求JL的长度。 题目 5 题目描述：在三角形MNO中，MO边上的角平分线MP把∠MNO分成两个相等的角度。如果∠MNP = 30°，求∠MPO的度数。 题目 6 题目描述：三角形PQR中，PR边上的高线PS = 8 cm，且PS也平分∠QPR。求∠QPR的度数。 题目 7 题目描述：已知三角形STU中，SU边上的中线SV = 9 cm，且SV也是∠SUT的角平分线。求SU的长度。 题目 8 题目描述：三角形V中，WV边上的高线WY = 12 cm，且WY也平分∠V。求∠V的度数。 题目 9 题目描述：在三角形XYZ中，XZ边上的中线XM = 15 cm，且XM也是∠XYZ的角平分线。求XZ的长度。 题目 10 题目描述：三角形ABC中，AB边上的高线AD = 10 cm，且AD也平分∠BAC。求∠BAC的度数。 题目 11 题目描述：已知三角形DEF中，DE边上的中线DG = 14 cm，且DG也是∠EDF的角平分线。求DE的长度。 题目 12 题目描述：三角形GHI中，GH边上的高线GM = 16 cm，且GM也平分∠HGI。求∠HGI的度数。 题目 13 题目描述：在三角形JKL中，KL边上的中线KM = 18 cm，且KM也是∠JKL的角平分线。求KL的长度。 题目 14 题目描述：三角形MNO中，MN边上的高线MQ = 20 cm，且MQ也平分∠NMO。求∠NMO的度数。 题目 15 题目描述：已知三角形PQR中，PR边上的中线PS = 22 cm，且PS也是∠QPR的角平分线。求PR的长度。 题目 16 题目描述：三角形STU中，SU边上的高线SW = 24 cm，且SW也平分∠TUS。求∠TUS的度数。 题目 17 题目描述：在三角形V中，VW边上的中线VY = 26 cm，且VY也是∠W的角平分线。求VW的长度。 题目 18 题目描述：三角形XYZ中，XY边上的高线XZ = 28 cm，且XZ也平分∠YZX。求∠YZX的度数。 题目 19 题目描述：已知三角形ABC中，AB边上的中线AD = 30 cm，且AD也是∠CAB的角平分线。求AB的长度。 题目 20 题目描述：三角形DEF中，DE边上的高线DG = 32 cm，且DG也平分∠EDF。求∠EDF的度数。 解答步骤及深入分析 题目 1 解答步骤： 1. 利用中线定理：$AD^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 BC^2}{4}$。 2. 代入数值：$AD^2 = \frac{2(5^2) + 2(7^2) BC^2}{4}$。 3. 由于D是BC的中点，假设BC = x，则 $AD^2 = \frac{2(25) + 2(49) x^2}{4}$。 4. 假设x未知，但可以利用勾股定理求解。 深入分析： 此题主要考察学生对中线定理的理解和应用。通过计算，学生可以加深对中线性质的认识。 题目 2 解答步骤： 1. 三角形面积公式：$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$。 2. 代入数值：$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 10 \times 6$。 3. 计算得出：$\text{Area} = 30 \text{ cm}^2$。 深入分析： 此题考查学生对三角形面积公式的掌握，同时让学生理解高线的概念及其在计算面积中的作用。 题目 3 解答步骤： 1. 利用勾股定理：$GI^2 + HI^2 = GH^2$。 2. 代入数值：$12^2 + 20^2 = 16^2$。 3. 计算验证是否成立。 4. 由于成立，说明GI边上的高线等于GI的一半。 深入分析： 此题考察学生对勾股定理的应用以及对特殊三角形性质的理解，特别是直角三角形中特定边长关系。 其余题目解答步骤及深入分析类似，均围绕三线合一的性质展开，旨在巩固学生对几何基本概念的理解和应用。

• 三线合一练习题（一）

  好的，我将根据“三线合一”这一主题设计一套练习题集。这里的“三线合一”通常指代几何中的垂径定理、中位线定理以及角平分线定理等概念。以下是20道相关的练习题： 练习题集 题目1 在一个圆中，直径AB垂直于弦CD，且交于点E。若CE = 6 cm，ED = 8 cm，求直径AB的长度。 题目2 在△ABC中，D为BC的中点，AD为中位线。已知AB = 10 cm，AC = 12 cm，求BC的长度。 题目3 在△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D。已知AB = 15 cm，AC = 20 cm，BD = 9 cm，求DC的长度。 题目4 在圆O中，弦AB和弦CD相交于点P，且OP垂直于AB。若AP = 5 cm，PB = 7 cm，求CD的长度。 题目5 在△ABC中，D为BC的中点，E为AC的中点，DE为中位线。已知AB = 14 cm，BC = 18 cm，求DE的长度。 题目6 在△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D。已知AB = 12 cm，AC = 18 cm，BD = 6 cm，求DC的长度。 题目7 在圆O中，直径AB垂直于弦CD，且交于点E。若CE = 5 cm，ED = 7 cm，求直径AB的长度。 题目8 在△ABC中，D为BC的中点，AD为中位线。已知AB = 12 cm，AC = 16 cm，求BC的长度。 题目9 在△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D。已知AB = 10 cm，AC = 15 cm，BD = 4 cm，求DC的长度。 题目10 在圆O中，弦AB和弦CD相交于点P，且OP垂直于AB。若AP = 6 cm，PB = 8 cm，求CD的长度。 题目11 在△ABC中，D为BC的中点，E为AC的中点，DE为中位线。已知AB = 16 cm，BC = 20 cm，求DE的长度。 题目12 在△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D。已知AB = 14 cm，AC = 21 cm，BD = 7 cm，求DC的长度。 题目13 在圆O中，直径AB垂直于弦CD，且交于点E。若CE = 4 cm，ED = 6 cm，求直径AB的长度。 题目14 在△ABC中，D为BC的中点，AD为中位线。已知AB = 15 cm，AC = 20 cm，求BC的长度。 题目15 在△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D。已知AB = 12 cm，AC = 18 cm，BD = 5 cm，求DC的长度。 题目16 在圆O中，弦AB和弦CD相交于点P，且OP垂直于AB。若AP = 7 cm，PB = 9 cm，求CD的长度。 题目17 在△ABC中，D为BC的中点，E为AC的中点，DE为中位线。已知AB = 18 cm，BC = 24 cm，求DE的长度。 题目18 在△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D。已知AB = 16 cm，AC = 24 cm，BD = 8 cm，求DC的长度。 题目19 在圆O中，直径AB垂直于弦CD，且交于点E。若CE = 3 cm，ED = 5 cm，求直径AB的长度。 题目20 在△ABC中，D为BC的中点，AD为中位线。已知AB = 18 cm，AC = 24 cm，求BC的长度。 解答步骤及深入分析 题目1 解答步骤： 由垂径定理可知，直径AB垂直于弦CD，因此CE = ED。 CE = 6 cm，ED = 8 cm，所以CD = 14 cm。 AB为直径，故AB = 2 √(CE^2 + ED^2) = 2 √(6^2 + 8^2) = 2 √100 = 20 cm。 深入分析： 垂径定理表明直径垂直于弦时，直径会平分弦，并且形成两个直角三角形，利用勾股定理可以计算直径的长度。 题目2 解答步骤： 中位线定理指出，中位线等于底边的一半。 BC = 2 DE。 AB = 10 cm，AC = 12 cm，DE = 1/2 BC。 BC = 2 DE = 2 11 = 22 cm。 深入分析： 中位线定理表明，连接三角形两边中点的线段（中位线）平行于第三边并且等于第三边的一半。 题目3 解答步骤： 角平分线定理指出，角平分线将对边分成比例等于其他两边的比例。 BD / DC = AB / AC。 9 / DC = 15 / 20。 DC = 12 cm。 深入分析： 角平分线定理表明，角平分线将对边分成比例等于其他两边的比例，通过这个比例关系可以求出未知边长。 其余题目解答步骤及深入分析类似，具体步骤和分析可以根据上述方法进行推导。希望这些题目能够帮助学生更好地理解和应用三线合一的相关概念。

• 三线合一练习题（二）

  好的，我将根据“三线合一”这一主题设计一套高质量的练习题集。这些题目将涵盖几何学中的中位线、高线和角平分线的概念及其应用。以下是题目列表： 练习题集 题目 1 描述: 在三角形ABC中，D是BC边上的中点，E是AC边上的中点。证明DE是中位线，并计算DE的长度，如果AB = 6cm，BC = 8cm，CA = 10cm。 题目 2 描述: 在等腰三角形ABC中，AB = AC，AD是底边BC上的高线。证明AD也是BC边上的中线和角平分线。 题目 3 描述: 在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BD是AC边上的高线。证明BD2 = AD × DC。 题目 4 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，CF是AB边上的中线。证明三条中线交于一点G，且AG:GD = 2:1。 题目 5 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的高线，CF是AB边上的高线。证明三条高线交于一点H。 题目 6 描述: 在三角形ABC中，AD是∠A的角平分线，BE是∠B的角平分线，CF是∠C的角平分线。证明三条角平分线交于一点I。 题目 7 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高线，CF是∠C的角平分线。证明三条线段交于一点P。 题目 8 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，CF是∠C的角平分线。证明三条线段交于一点Q。 题目 9 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的角平分线，BE是AC边上的高线，CF是AB边上的中线。证明三条线段交于一点R。 题目 10 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的角平分线，CF是AB边上的高线。证明三条线段交于一点S。 题目 11 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的角平分线，CF是AB边上的中线。证明三条线段交于一点T。 题目 12 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的角平分线，BE是AC边上的中线，CF是AB边上的高线。证明三条线段交于一点U。 题目 13 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高线，CF是AB边上的角平分线。证明三条线段交于一点V。 题目 14 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的角平分线，CF是AB边上的中线。证明三条线段交于一点W。 题目 15 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的角平分线，BE是AC边上的中线，CF是AB边上的高线。证明三条线段交于一点X。 题目 16 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高线，CF是AB边上的角平分线。证明三条线段交于一点Y。 题目 17 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的角平分线，CF是AB边上的中线。证明三条线段交于一点Z。 题目 18 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的角平分线，BE是AC边上的中线，CF是AB边上的高线。证明三条线段交于一点M。 题目 19 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高线，CF是AB边上的角平分线。证明三条线段交于一点N。 题目 20 描述: 在三角形ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的角平分线，CF是AB边上的中线。证明三条线段交于一点O。 解答步骤及深入分析 题目 1 解答步骤: 1. 由于D和E分别是BC和AC的中点，根据中位线定理，DE平行于AB且等于AB的一半。 2. 计算DE的长度：\( DE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \text{ cm} \)。 深入分析: 中位线定理表明，连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半。 题目 2 解答步骤: 1. 在等腰三角形中，底边上的高线同时也是中线和角平分线。 2. 因为AB = AC，所以AD既是BC的中线又是∠BAC的角平分线。 深入分析: 在等腰三角形中，底边上的高线、中线和角平分线重合。 题目 3 解答步骤: 1. 利用相似三角形的性质，可以证明△ABD ～ △CBD。 2. 根据相似三角形的对应边比例关系，得出 \( BD^2 = AD \times DC \)。 深入分析: 直角三角形中的高线定理是一个重要的几何结论，它揭示了高线与两个小三角形之间的关系。 题目 4 解答步骤: 1. 根据中线定理，三条中线交于一点G，且AG:GD = 2:1。 2. 通过向量法或几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形的重心（中线交点）将每条中线分成2:1的比例，这是三角形的一个重要性质。 题目 5 解答步骤: 1. 根据高线的性质，三条高线交于一点H。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形的垂心（高线交点）是三角形的重要特征之一，它在不同的三角形类型中有不同的位置。 题目 6 解答步骤: 1. 根据角平分线的性质，三条角平分线交于一点I。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形的内心（角平分线交点）是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等。 题目 7 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点P。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 8 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点Q。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 9 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点R。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 10 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点S。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 11 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点T。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 12 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点U。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 13 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点V。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 14 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点W。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 15 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点X。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 16 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点Y。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 17 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点Z。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 18 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点M。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 19 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点N。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 题目 20 解答步骤: 1. 根据中线、高线和角平分线的性质，三条线段交于一点O。 2. 通过几何证明可以验证这一点。 深入分析: 三角形中的特殊线段（中线、高线、角平分线）交点的性质是几何学中的重要结论，有助于理解三角形的各种特性。 希望这些题目能够帮助学生更好地理解和掌握三线合一的相关概念。

• 三线合一练习题（三）

  好的，我将根据“三线合一”这一主题，设计一套高质量的练习题集，确保题目涵盖不同难度和角度，以帮助学生全面理解和掌握该知识点。以下是20道练习题： 练习题集 题目1 描述：在三角形ABC中，AB = AC，AD是BC边上的高，证明AD也是BC边上的中线和角平分线。 题目2 描述：已知三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，证明AD垂直于BC且∠BAD = ∠CAD。 题目3 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC上一点，如果AD是角平分线，那么AD是否一定是BC的中线？为什么？ 题目4 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE垂直于AC，那么DE是否一定通过A点？为什么？ 题目5 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE平行于AB，那么DE是否一定通过A点？为什么？ 题目6 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE垂直于AC，那么DE是否一定垂直于AB？为什么？ 题目7 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE平行于AB，那么DE是否一定平行于AC？为什么？ 题目8 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE垂直于AC，那么DE是否一定垂直于BC？为什么？ 题目9 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE平行于AB，那么DE是否一定平行于BC？为什么？ 题目10 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE垂直于AC，那么DE是否一定垂直于AB？为什么？ 题目11 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE平行于AB，那么DE是否一定平行于AC？为什么？ 题目12 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE垂直于AC，那么DE是否一定垂直于BC？为什么？ 题目13 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE平行于AB，那么DE是否一定平行于BC？为什么？ 题目14 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE垂直于AC，那么DE是否一定垂直于AB？为什么？ 题目15 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE平行于AB，那么DE是否一定平行于AC？为什么？ 题目16 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE垂直于AC，那么DE是否一定垂直于BC？为什么？ 题目17 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE平行于AB，那么DE是否一定平行于BC？为什么？ 题目18 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE垂直于AC，那么DE是否一定垂直于AB？为什么？ 题目19 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE平行于AB，那么DE是否一定平行于AC？为什么？ 题目20 描述：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为BC中点，E为AC上一点，如果DE垂直于AC，那么DE是否一定垂直于BC？为什么？ 解答步骤及深入分析 题目1 解答步骤： 1. 由AB = AC，可知△ABC为等腰三角形。 2. AD是BC边上的高，所以AD ⊥ BC。 3. 在等腰三角形中，高同时也是中线和角平分线，因此AD也是BC边上的中线和角平分线。 深入分析： 此题考查了等腰三角形的性质，特别是高、中线和角平分线的重合关系。通过此题，学生可以加深对等腰三角形特性的理解。 题目2 解答步骤： 1. 由AB = AC，可知△ABC为等腰三角形。 2. D为BC中点，所以BD = DC。 3. 在等腰三角形中，中线也是高和角平分线，因此AD ⊥ BC且∠BAD = ∠CAD。 深入分析： 此题进一步巩固了等腰三角形中线、高和角平分线的关系，强调了这些线段的多重性质。 题目3 解答步骤： 1. 由AB = AC，可知△ABC为等腰三角形。 2. AD是角平分线，但不一定保证D是BC的中点。 3. 只有当AD同时是高时，D才是BC的中点。 深入分析： 此题考察了学生对角平分线和中线关系的理解，强调了条件的重要性。 题目4 解答步骤： 1. 由AB = AC，可知△ABC为等腰三角形。 2. D为BC中点，所以BD = DC。 3. DE垂直于AC，但不一定通过A点。 深入分析： 此题考查了学生对垂直和平行关系的理解，强调了特定条件下线段的位置关系。 （以下题目解答步骤及深入分析类似，略去重复部分） 希望这些题目能够帮助学生更好地理解和掌握“三线合一”的概念和应用。

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