第09讲拓展四：三角形中周长定值，最值，取值范围问题精讲目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：周长边长定值高频考点二：周长边长最值高频考点三：周长边长取值范围第三部分：高考真题感悟1基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围2利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周长边长公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长边长的取值范围.高频考点一：周长边长定值12022河南洛阳高二阶段练习理在中，角的对边分别为，.1求角2若，面积，求

第07讲拓展二：三角形中线，角平分线问题精讲目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：中线长问题角度1：求中线长或中线长范围，最值角度2：已知中线长，求其它元素高频考点二：已知角平分线问题角度1：求角平分线长或角平分线长范围，最值角度2：已知角平分线，求其它元素1中线：在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，1.1向量形式：记忆核心技巧，结论不用记忆核心技巧：结论：1.2角形式：核心技巧：在中有：在中有：2角平分线如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，2.1内角

第05讲正弦定理和余弦定理的应用精练一单选题12022全国高一课前预习若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则A在点B的A北偏东15B北偏西15C北偏东10D北偏西1022022全国高三专题练习如图,设两点在河的两岸,在A所在河岸边选一定点C,测量的距离为50m,,,则可以计算两点间的距离是ABCD32022全国高三专题练习若点A在点C的北偏东60方向上，点B在点C的南偏东30方向上，且ACBC，则点A在点B的A北偏东方向上B北偏西方向上C北偏东方向上D北偏西方

第06讲拓展一：平面向量的拓展应用精讲目录第一部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量夹角为锐角或钝角问题高频考点二：平面向量模的最值或范围问题高频考点三：平面向量数量积最值或范围问题高频考点四：平面向量与三角函数的结合第二部分：高考真题感悟高频考点一：平面向量夹角为锐角或钝角问题例题12021重庆第二外国语学校高三阶段练习已知向量，，则是，夹角为锐角的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件例题22022河北承德高一阶段练习已知向量，，若向量，的夹角是锐角，

第04讲正弦定理和余弦定理精练一单选题12022全国高三专题练习在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是A等腰三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形答案D详解因为，由余弦定理可得，又由，所以，所以是钝角三角形.故选：D.22022江苏高一课时练习已知正三角形的边长为2，则该三角形的面积A4BCD1答案B根据三角形面积公式可得该三角形的面积为.故选：B.32022江苏高一课时练习在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则等于ABCD答案B由正弦定理得，故选：B420

第04讲简单的三角恒等变换精讲精练目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：三角函数式的化简高频考点二：三角函数求值问题角度1：给角求值型角度2：给值求值型角度3：给值求角型高频考点三：三角恒等变换的应用第四部分：高考真题感悟第五部分：第04讲简单的三角恒等变换精练1半角公式1.2.3.2万能公式拓展视野123其中3和差化积公式拓展视野4积化和差公式拓展视野12022全国高二课时练习若cos，0，，则cos的值为ABCD22022全国高一专

第02讲平面向量基本定理及坐标表示精练一单选题1在平行四边形ABCD中，ACBD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则等于ABCD答案A解：依题意，所以，即，所以故选：A2在梯形ABCD中，且，点P在边BC上，若，则实数ABCD答案A详解解：延长交于点，则三点共线，于是可得，因为且，所以，所以，故故选：A3如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则ABCD答案A因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，所以,故选：A4

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试九省联考数学试题注意事项：答卷前，考生务必将自己的考生号考点学校考场号及座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1样本数据16，24，14，10，20，3

第04讲正弦定理和余弦定理精练一单选题12022全国高三专题练习在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是A等腰三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形22022江苏高一课时练习已知正三角形的边长为2，则该三角形的面积A4BCD132022江苏高一课时练习在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则等于ABCD42022河南高二阶段练习文如图，在直角梯形中，，，，，，则ABCD52022江苏南京市第九中学高一期中图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅赵爽弦图，它是由四个全等

机密启用前新教材卷华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评语文参考答案和评分标准1.B命题意图本题考查筛选并整合文中信息的能力。解析B项文学作品通过虚构故事错。原文说文学叙事作品中的事一般而言是虚构的，文学叙事作品不等于文学作品，一般而言是虚构的并不意味着通过虚构故事。故选B.2.B命题意图本题考查对材料相关内容进行分析概括和推断的能力。解析B项所以叙事者可以不必在意读者错，原文说文学叙事主题通常具有较强的个人化特征，即叙事者对叙事文本传达或是否需要传达某个内容给读者并不在意，可知

第03讲平面向量的数量积精练一单选题12022河北高一期中已知向量，，且，则A2BC1D答案C由题意得，解得故选：C22022江苏淮安模拟预测已知，在上的投影为1，则在上的投影为A1B2C3D答案C因为，在上的投影为1，所以，即所以在上的投影为故选：C.32022山西太原三模理设非零向量满足，则ABCD答案B由，平方得，即，则.故选：B.42022山东菏泽高一期中已知，，与的夹角为，那么A4B3C2D答案D.故选：D.52022河南唐河县第一高级中学高一阶段练习已知，，且与的夹角为锐角

第03讲平面向量的数量积精练一单选题12022河北高一期中已知向量，，且，则A2BC1D22022江苏淮安模拟预测已知，在上的投影为1，则在上的投影为A1B2C3D32022山西太原三模理设非零向量满足，则ABCD42022山东菏泽高一期中已知，，与的夹角为，那么A4B3C2D52022河南唐河县第一高级中学高一阶段练习已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是ABCD62022湖南高一阶段练习已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最小值是A1BCD2二多选题72022山

合肥市2023年高三第一次教学质量检测数学试题考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的准考证号和座位号后两位.2作答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3作答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区

第02讲平面向量基本定理及坐标表示精讲目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量基本定理的应用高频考点二：平面向量的坐标表示高频考点三：平面向量共线的坐标表示角度1：由坐标判断是否共线角度2：由向量平行求参数角度3：由坐标解决三点共线问题第四部分：高考真题感悟1平面向量的基本定理1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.1.2基底：不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

第01讲平面向量的概念及其线性运算精练一单选题12022山东烟台高一期中下列命题正确的是A若，都是单位向量，则B若向量，，则C与非零向量共线的单位向量是唯一的D已知为非零实数，若，则与共线答案D详解单位向量的方向不一定相同，故A错误当时，显然与不一定平行，故B错误非零向量共线的单位向量有，故C错误由共线定理可知，若存在非零实数，使得，则与共线，故D正确.故选：D.22022山西怀仁市第一中学校高一期中理下列命题中正确的是A若，则BC与的方向相反D若，则答案B详解对于A选项，由于任意两个

2024届高三综合测试卷2满分：150分考试时间：120分钟一单选题1设集合，集合，则ABC或D或2直线与平行是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知且，则ABCD4已知，则向量与夹角的大小为ABCD5我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为，62记为.现从由4根算筹表示

第02讲平面向量基本定理及坐标表示精练一单选题1在平行四边形ABCD中，ACBD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则等于ABCD2在梯形ABCD中，且，点P在边BC上，若，则实数ABCD3如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则ABCD4已知向量，若，则实数的值为A1B0CD5如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn等于A0B1C2D36直角三角形中，是斜边上一点，且

2024届高三综合测试卷3一单选题1已知集合，，，则ABCD2如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为ABCD3已知直线，直线，且，则A1BC4D4已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则AB4C5D5在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为A4B2CD6已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则ABCD7已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则A是递增数列B是递减数列C是递增数列D是递减数列8勒洛四面体是一个非常神奇的四面体，它是以

2024届综合测试卷1满分：150分考试时间：120分钟一单选题1已知集合，，则ABCD2已知复数，则的虚部为ABCD3与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为ABCD4已知x，，则是的A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件5九章算术中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？其意思为：在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？已知

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