2.设正项数列单调减少且级数发散试问级数是否收敛并说明理由 解因正项数列是单调减少的且有下界故在时必存在极限且此极限不为 0否则交错级数就收敛了这与题设相矛盾 .从而不妨设并且有于是2.设正项数列单调减少且级数发散试问级数是否收敛并说明理由 解从而不妨设并且有于是2.设正项数列单调减少且级数发散试问级数是否收敛并说明理由 解而级数是收敛的 . 故由比较判别法知原级数收敛 .完从而不妨设并且有于是

1.设正项级数收敛能否推得收敛反之是否成立 解由正项级数收敛可以推得收敛由比较判别法知收敛 .反之不成立例如 :收敛发散 .完

例7判别级数的敛散性.解记采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从例7判别级数的敛散性.解采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从例7判别级数的敛散性.解采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从当时级数收敛当时级数发散.完

例5设证明级数收敛.证由得因为所以收敛由比较判别法知收敛.完

例4且证明:证得从而由比较判别法知设级数及都收敛级数也收敛.由由于与都收敛故是收敛的正项级数也收敛.再由与的收敛性可推知:级数例4且证明:证从而由比较判别法知设级数及都收敛级数也收敛.正项级数也收敛.再由与的收敛性可推知:级数也收敛.例4且证明:证从而由比较判别法知设级数及都收敛级数也收敛.正项级数也再由与的收敛性可推知:级数收敛.

比较判别法定理2设均为正项级数且若收敛则收敛若发散则发散.注:注意到级数的每一项同乘不为零的常数及去掉级数前面有限项不改变级数的收敛性以定理的条件可减弱为可知为常数比较判别法定理2设均为正项级数且若收敛则收敛若发散则发散.比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法.对于给定的正项级数如果要用比较判别法来判别其收敛性则首先要通过观察找到另一个已知级数与其进行比较并应用定理2进行判断.比较判别法定理

1.设正项级数收敛能否推得收敛反之是否成立 解由正项级数收敛可以推得收敛由比较判别法知收敛 .反之不成立例如 :收敛发散 .完

例7判别级数的敛散性.解记采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从例7判别级数的敛散性.解采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从例7判别级数的敛散性.解采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从当时级数收敛当时级数发散.完

例4且证明:证得从而由比较判别法知设级数及都收敛级数也收敛.由由于与都收敛故是收敛的正项级数也收敛.再由与的收敛性可推知:级数例4且证明:证从而由比较判别法知设级数及都收敛级数也收敛.正项级数也收敛.再由与的收敛性可推知:级数也收敛.例4且证明:证从而由比较判别法知设级数及都收敛级数也收敛.正项级数也再由与的收敛性可推知:级数收敛.

比较判别法定理2设均为正项级数且若收敛则收敛若发散则发散.设的部分和分别为则有证比较判别法比较判别法若收敛则其部分和数列 有界从而的部分和数列 有界 收敛.若发散则发散.假如不然收敛则由知也收敛发散相与条件故由定理1知故发散.矛盾.比较判别法故发散.矛盾.比较判别法故发散.矛盾.注:去掉级数前面有限项不改变数的收敛性 的条件可减弱为为常数比较判别法是判断正项级数

2.设正项数列单调减少且级数发散试问级数是否收敛并说明理由 解因正项数列是单调减少的且有下界故在时必存在极限且此极限不为 0否则交错级数就收敛了这与题设相矛盾 .从而不妨设并且有于是2.设正项数列单调减少且级数发散试问级数是否收敛并说明理由 解从而不妨设并且有于是2.设正项数列单调减少且级数发散试问级数是否收敛并说明理由 解而级数是收敛的 . 故由比较判别法知原级数收敛 .完从而不妨设并且有于是

1.设正项级数收敛能否推得收敛反之是否成立 解由正项级数收敛可以推得收敛由比较判别法知收敛 .反之不成立例如 :收敛发散 .完

例5设证明级数收敛.证由得因为所以收敛由比较判别法知收敛.完

例7判别级数的敛散性.解记采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从例7判别级数的敛散性.解采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从例7判别级数的敛散性.解采用比较法的极限形式取因所以原级数与级数具有相同的敛散性而知从当时级数收敛当时级数发散.完

例4且证明:证得从而由比较判别法知设级数及都收敛级数也收敛.由由于与都收敛故是收敛的正项级数也收敛.再由与的收敛性可推知:级数例4且证明:证从而由比较判别法知设级数及都收敛级数也收敛.正项级数也收敛.再由与的收敛性可推知:级数也收敛.例4且证明:证从而由比较判别法知设级数及都收敛级数也收敛.正项级数也再由与的收敛性可推知:级数收敛.

例3解因级数发散.级数去掉前面的有限项(最多去掉前它不影响级数的收敛性)而后为正级数确定级数的收敛域.当时当时项由比较判别法的极限形式知且级数当时收敛时发散.题设级数当时收敛即收敛域为完

2.设正项数列单调减少且级数发散试问级数是否收敛并说明理由 解因正项数列是单调减少的且有下界故在时必存在极限且此极限不为 0否则交错级数就收敛了这与题设相矛盾 .从而并且有于是2.设正项数列单调减少且级数发散试问级数是否收敛并说明理由 解从而并且有于是2.设正项数列单调减少且级数发散试问级数是否收敛并说明理由 解从而并且有于是而级数是收敛的 . 故由比较判别法知原级数收敛 .完

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级定理：比较原则比较原则的不便:须有参考级数. §2 正项级数(2)常用极限形式比较原则的极限形式:设?￥=1nnu与?￥=1nnv都是正项级数如果则(1) 当时二级数有相同的敛散性 (2) 当时若收敛则收敛 (3) 当时 若?￥=1nnv发散则?￥=1nnu发散推论：推论：第2章总练习题4(7)：因此凡是能用比式法判别

例5设证明级数收敛.证由得因为所以收敛由比较判别法知收敛.完

Theparison testsTheorem Suppose that and are series with positive terms then(i) If is convergent and for all n then is also convergent.(ii) If