第四节 有理函数的积分有理函数： 转化 多项式真分式化有理真分式为部分分式1．实系数多项式的分解因式定理其中为常数且为正整数2．部分分式定理如果已分解为上式形式则真分式可唯一分解为如下形式注：由待定系数法可确定系数例（1）（2）（3）有理真分式的积分（可归结为以下四种类型）（1） （2） （3） 分项法 （4） 递推公式 例1 求例2 求例3 求例4 求例5

乙 p(x)Q(x )dx p(x)Q(x ) Q x Q x =(x-a1)(x-a2)… (x-an) p(x)Q(x )=A1x-a1A2x-a2… Anx-an x-a1 (i=12 … n) x-a1 p(x)Q(x )=A1(x-a1)x-a1… Ai… An(x-a1)x-an x=ai Ai=(x-a1)p(x)Q(x ) x=ai(i=12 … n) Ai x=Ai

分部积分法 第八章 有理函数:其中部分分式的形式为取例3. 求说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行注意本题技巧第三步 分项积分 .令万能代换令说明: 通常求含机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如:最小公倍数 6 三角代换解: 1.机动 目录 上页 下页 返回 结束

几种特殊类型函数的积分一有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式这有理函数是假分式 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.(1)分母中若有因式 则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为注关于部分分式分解如对进行分解

1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 3 ( 071003) Laplace . Laplace . O13 Laplace [1 ] . . F( x) =P( x)Q ( x) . Q ( x) Q ( x) = ( x - a 1 )n1

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第四节 有理数函数的积分 本节我们还要介绍一些比较简单的特殊类型函数的不定积分包括有理函数的积分以及可化为有理函数的积分如三角函数有理式简单无理函数的积分等.分布图示★ 有理函数的积分 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7