543 平均不等式思考:该结论可推广到三个正数,四个正数, …,甚至n个正数吗?也就是说,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数基本不等式你能证明吗?一般地, n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这表明,三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数例1设a,b,c均为正数,证明;(ab +a +b +1)(ab+ac +bc +c2) ≥16abc说明上式表明了n个正数的算术平均数不小
若a,b,c,d都是实数,则(a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2当且仅当ad =bc时,等号成立定理1(二维形式的柯西不等式):你能证明吗?二维形式的柯西不等式的变式: 向量形式:定理2: (柯西不等式的向量形式)例1(1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1(2) 已知a,b为实数,求证:(a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
若a,b,c,d都是实数,则(a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2当且仅当ad =bc时,等号成立定理1(二维形式的柯西不等式):541柯西不等式思考:能否把上述结论推广至一般形式一般形式的柯西不等式猜想补充作业:
例1求函数 的最小值.例1 求函数 的最小值.下面解法是否正确?为什么?解法1:由 知 ,则 例1 求函数 的最小值.下面解法是否正确?为什么?解法2:由 知 ,则 1 若n个正数的积是一个常数,那么当且仅当这n个正数相等时,它们的和有最小值2 应用定理时需注意 “一正二定三相等”这三个条件缺一不可;不可直接利用定理时,要善于转化; 分式函数造积定的策略:
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单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级书 山 有 路 勤 为 径学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动正确的方法少谈空话天才就是百分之一的灵感百分之九十九的汗水天 才 在 于 勤 奋努 力 才 能 成 功41620223.三个正数的算术--几何平均数定理1.如果那么(当且仅当时
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