可降阶高阶微分方程 第五节一、依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解型例1 解: 型设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解二、例2 求解解: 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为型令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解三、例3 求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:例4 解初值问题解: 令代
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一 型的微分方程 二 型的微分方程 三 型的微分方程 第七章 一令因此即同理可得依次通过 n 次积分 可得含 n 个任意常数的通解
可降阶高阶微分方程 第五节一、型的微分方程 二、 型的微分方程 三、型的微分方程第七章 一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 型的微分方程 例1 解: 例2质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有t = 0 时设力 F 仅
一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 1 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程 ;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2 解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例1 解方程 解:先解即积分得即用常数变易法求特解令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为例2 求方程的通解 解:由通解公式二、
高阶线性微分方程解的结构 第六节n 阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y一、线性微分方程方程概念证毕二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理1说明:不一定是所给二阶方程的通解例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级江西财经大学信息管理学院一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一一阶线性微分方程二伯努利方程 第七章 一一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) ? 0 若 Q(x) ? 0 称为非齐次方程 .1.
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解的结构 第六节二线性齐次方程解的结构 三线性非齐次方程解的结构 四常数变易法 一二阶线性微分方程举例 第七章 n 阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程. 时 称为非齐次方程 时 称为齐次方程.复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次
一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程第七章 一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 1 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程 ;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2 解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例1 解方程 解:先解即积分得即用常数变易法求特解则代入非齐次方程得解得故原方程通
高阶线性微分方程 第六节二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第七章 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图设时刻
三 型的微分方程 型的微分方程 运动初初速度为0 故所求质点运动规律为二于是有解: 取坐标系如图.M 点受切向张力T故所求绳索的形状为即得解:代入方程得问: 此时开方根号前应取什么符号 说明道理 .根据二阶可导 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令均可. 又由于
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