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  第五讲 容斥原理与极端性原理本讲概述本讲我们讨论组合数学中两个非常重要的原理：容斥原理与极端性原理注：为了让大家在寒假班能够对组合数学有一个概貌了解，本讲与下一讲都安排了两个论题，但这两个论题的联系并不大当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，考虑将整体分解为部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择将整体分解为部分也就是将有限集X表示成它的一组两两互异的非空真子集A

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  容斥原理上(★★)网校老师共50人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球训练的有30人，参加乒乓球训练的有35人，请问：两个项目都参加的有多少人？(★★★)一个班30人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。已知做完语文作业的有20人；做完数学作业的有23人。这些人只完成数学作业的有多少人？ (★★★)网校

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  牛吃草问题专题训练　　一牛吃草问题介绍　　在著名科学家牛顿写的《算术》一书中有一道非常有名的题目：有一片牧场已知牛27头6天把草吃尽牛23头9天把草吃尽．如果有牛21头几天能把草吃尽后来人们把这道题叫做牛顿问题．　　表面上看这似乎是归一问题只要算出一头牛多少天草吃尽就可以了．其实不然这里有一个很重要的不同：牧场上的草是不断地生长着的．　　解决牛吃草问题的基本步骤：　　1．把每头牛每天的吃草量看作一

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  4 \* MERGEFORMAT 61第3级下·基础班·学生版 容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”

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  在计数时必须注意无一重复无一遗漏为了使重叠部分不被重复计算人们研究出一种新的计数方法这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来然后再把计数时重复计算的数目排斥出去使得计算的结果既无遗漏又无重复这种计数的方法称为容斥原理 :

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  容斥原理1．关键提示：容斥原理关键内容就是两个公式考生只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型另外在练习及真考的过程中请借助图例将更有助于解题2．核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式： ABA∪BA∩B（2）三个集合的容斥关系公式： ABCA∪B∪CA∩BB∩CC∩A－A∩B∩C例题1：2004年中央A类真题某大学某班学生总数为32人在第一次考试中有26人及格在第二次考试中有24人及

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