高阶线性微分方程一、高阶线性微分方程解的结构二、高阶常系数线性微分方程的求解三、高阶变系数线性微分方程的求解√√1所有关于微分方程组的相关结论都可平行推论到n阶线性微分方程上一、高阶线性微分方程解的结构2结论(n阶齐次线性微分方程解的结构)3二、高阶常系数线性微分方程的求解1、常系数齐次线性微分方程的求解4A的特征方程为:(4)也称为微分方程(3)的特征方程5(1):A有n个单特征值是常系数线性方
高阶线性微分方程一、高阶线性微分方程解的结构二、高阶常系数线性微分方程的求解三、高阶变系数线性微分方程的求解√√1一、高阶线性微分方程解的结构n阶齐次线性微分方程n阶非齐次线性微分方程(2)1高阶线性微分方程的定义2即方程(1)32与一阶线性微分方程组的关系所有关于微分方程组的相关结论都可平行推论到n阶线性微分方程上4就是方程(1)的解5若求得(2)的一组解这两组解的线性无关性是等价的!63 线性
高阶线性微分方程一、高阶线性微分方程解的结构二、高阶常系数线性微分方程的求解三、高阶变系数线性微分方程的求解√2013年6月1南京航空航天大学 理学院 数学系1、换元法Euler方程2、 n阶齐次线性微分方程的降阶法4、幂级数解法三、高阶变系数线性微分方程的求解3、 n阶非齐次线性微分方程的常数变易公式21、Euler微分方程解法:欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换可化为常系数微分方程特点:
2dxm2 d dub LC2u 例2 设有一个由电阻R自感L电容C和电源E串联组成的电路 其中RL及C为常数 电源电动势是时间t的函数: E?Emsinwt 这里Em及w也是常数. 举例? 对于两个函数? 如果它们的比恒为常数? 那么它们就线性相关? 否则就线性无关? 已知y1=x与y2=ex都是方程(x-1)y??-xy?y=0的解?
四常数变易法 阻力的大小与运动速度(虎克定律)则得强迫振动方程:由电学知化为关于(二阶线性微分方程)但是 n 个函数必需全为 0 ( 无妨设(自证) 的一个特解 因而 ② 也是通解 .都是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解四常数变易法由于有两个待定函数 所以要建立两个方程:故⑤ ⑥的系数行列式将③的解设为 仅知③的齐次方程的一个非零特解 例5.积分得 代入非齐次方程后化简得
一阶线性微分方程组线性微分方程组基本知识齐次线性微分方程组解的结构非齐次线性微分方程组解的结构高阶线性微分方程预备知识2013年6月8日预备知识1 向量值函数和矩阵函数的有关定义(1)n维一元向量值函数定义为(2 ) 向量值函数和矩阵函数的连续,微分和积分的概念可微函数可微可积函数可积此时,它们的导数与积分分别定义为注:关于向量函数与矩阵函数的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似(seeP289
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系高阶线性微分方程高阶线性微分方程解的结构高阶常系数线性微分方程的求解高阶变系数线性微分方程的求解2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系1奇次方程一高阶线性微分方程解的结构2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系2非奇次方程2007年8月3南京航空航天大学 理学院
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级一概念的引入解受力分析物体自由振动的微分方程强迫振动的方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程二线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:例如线性无关线性相关特别地:例如2.二阶非齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理三降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无
1第六节 高阶线性微分方程线性微分方程的解的结构小结思考题作业二阶线性微分方程线性(higher-order linearordinary differentialequation)2二阶二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程微分方程形如一、二阶线性微分方程线性微分方程n阶线性关于未知函数及其各阶导数都是一次的n阶微分方程称为n 阶线性微分方程3定理1?证叠加原理一定是通解(1)二、线性微分方
高阶线性微分方程 第六节二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第七章 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图设时刻
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