23456一、罗尔(Rolle)定理例如,7物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零几何解释:8证9注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立例如,10例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根矛盾,1112设 在[0, ]上连续,在(0, )内可导,证明至少存在一点ξ∈(0, ),使得=证明: 只要证明 由罗尔定理,至少存在一点 131415二、拉格朗日(Lagrange)
23456一、罗尔(Rolle)定理例如,7物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零几何解释:8证9注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立例如,10例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根矛盾,1112设 在[0, ]上连续,在(0, )内可导,证明至少存在一点ξ∈(0, ),使得=证明: 只要证明 由罗尔定理,至少存在一点 131415二、拉格朗日(Lagrange)
§41中值定理一、罗尔定理三、柯西中值定理 二、拉格朗日中值定理一、罗尔定理设连续光滑的曲线 y?f(x)在端点 A、B 处的纵坐标相等? f ?(?)?观察与思考 提示?f ?(?)?0? 罗尔定理:如果函数y?f(x)满足条件? (1)在闭区间[a? b]上连续? (2)在开区间(a? b)内可导? (3)f(a)?f(b)? 则至少存在一点??(a? b)? 使得f ?(?)?0? 例1?验
第一节 中值定理 一费马引理不妨设 B(1) M = m ∴M m 中至少有一个不等于 f (a) 或 f (b) 121417例:2326由L — 定理:= 03137对它们在[a b]上应用柯西中值定理即可4253不存在则不能说59此式左端是一函数而右端是 x 的一次多项式拉格朗日型余项73750下降的曲线每点处的切线斜率均为负86 二曲线的凸性与拐点
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x 解:由于初等函数 在此闭区间上处处有定义故它在此区间上连续也可写成a间(a b)内是一个常数例3 证明:当 时因此当 时即(2)在点 的某空心邻域内 存在 等情形 结论仍然成立例6 求且 计算
10 第三章 中值定理及导数应用本章是一元函数微分学的核心内容之一, 其包含的中值定理和定积分的应用技巧是既是学习一元、多元函数(不)定积分的基础,又是对一元函数导数和微分理解的深化。在研究生入学考试中,本章是《高等数学一》至《高等数学四》的考试内容。通过这一章的学习,我们认为应达到如下要求:1、理解罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理,会运用中值定理证明一些等式和不等式。 2、掌握函数单调性的判别方
高等数学第三章 微分中值定理与导数的应用二罗尔中值定理三拉格朗日中值定理四柯西中值定理第一节 微分中值定理 第三章 一极值概念及费马引理本节的几个定理都来源于下面的在一条平面连续曲线段AB上⌒则至少有一点处的切线几何事实:平行于两个端点的连线 即平行于两端点所在的弦有水平的切线除端点外处处有不垂直于 轴的切线 .极值定义? 一极值概念及费马引理如果对 有 函数的极大值与极小值统称为极值.函数的
拉格朗日中值定理三柯西(Cauchy)中值定理1) 在闭区间 [ab]上连续.3罗尔定理还指出了这样的一个事实:例如证矛盾欲证:二拉格朗日(Lagrange)中值定理注意 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.增量 ?y 的精确表达式证证有2) 在开区间(ab)内可导且 g?(x)? 0 .切线斜率2. 微分中值定理的应用1. 填空题则 f (x) 在
柯西中值定理证:2由引理可得结论结论等价于: 证67确定其中 10引入辅助函数:例1 (函数 即有几个实根并指出它们所在的区间 同理 的全部根 上满足由即使 在 上连续在 ))ff且 于是至少存在一点20故分析:上式变形为 在 在 证明至少存在一点 由零点定理可知存在一点
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