实对称矩阵特征值与特征向量的性质两式相减得即A的特征向量必为实特征向量.得其中 是A的n个特征值.有解 A的特征多项式为解方程求得基础解系(1)由于A是实对称矩阵知A必能相似于对角矩阵
二次型的概念变量的二次齐次多项式的化简问题.f(x1 x2 ··· xn ) = a11x12 a22x22 ··· annxn2 阵. 单击这里求秩如果标准形的系数只在 1 -1 0 三个数中此定理说明经可逆变换 x = Cy 后 二次型的由上节推论 任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A)本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮.本节内容已结束 若想
配方法主要内容初等变换法第六节 用配方法化二次型成标准形和初等变换法. 用正交变换化二次型成标准形 具有保持几何形状不变的优点. 如果不限于用正交变换 那么还可以有多种方法(对应有多个可逆的线性变换)把二次型化成标准形. 这里介绍拉格朗日配方法下面举例来说明这两种方法.例 23 用配方法化二次型成标准形 并求所用的变换矩阵.解 由于二次型中没有变量的平方项 故针性变换以产生变量的平方
相似矩阵的性质为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.因而 A 与 B 有相同的特征值 相同的行列式.正整数 g(x) = a0xm a1xm-1 ··· am 则果一个矩阵能够相似于对角矩阵 则可能简化某下面我们就来讨论这个问题.矩阵 P 使 P-1AP = ? 的过程为把矩阵 A 对角化.Step1 :求出矩阵 A 的所有特征值设 A (1) 问矩阵 A 是否可对角化
向量空间的基与维所谓封闭 是指在集合 V 中可以进行加法及的有向线段的全体.b = ( 0 b2 ··· bn )T ? V 则 S = { x Ax = 0 }当 S 非空时若 ? ? S则是一个向量空间.试证 L1 = L2 .(i) a1 a2 ··· ar 线性无关例如 由例 8 知 任何 n 个线性无关的 n 维向··· ··· ··· ··· 若向量组 a
上页称为A 的特征多项式A 的特征多项式是:返回例6上页例7返回上页
本章讨论在理论上和实际应用上都非常重正交变换下列性质:但 n 3. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式 [ x y ]2 ≤ [ x x ][ y y ] 由此可得 定理 1 若 n 维向量 a1 a2 ··· ar 是一组定义 3 设 n 维向量 e1 e2 ··· er 是向量空 a = k1e1
方阵的特征值与特征向量:概念、求法二次型:概念、标准型、正定性第五章一、方阵的特征值和特征向量:3、求An×n的特征值和特征向量:*4、重要结论:二、二次型:若不要求变换正交,则化二次型为标准形的方法很多,其标准形的形式也有多种配方法是常用的一种化法2、化二次型为标准形的配方法举例: 在不同的变换下二次型的标准形不同,但其项数确定(称为二次型的秩)且在实变换下得到的标准形中正系数的个数确定(称为惯
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矩阵的合同即:二次型与对称矩阵之间是一一对应关系如果矩阵C为正交矩阵则称该替换为正交变换.注意:矩阵之间的合同关系与相似关系是两种不同的关系合同关系只是对称矩阵之间的关系即使是对称矩阵也有合同但不相似及相似但不合同的矩阵.定理: 任何一个二次型都可以通过非退化线性替 换化为标准形. 对此类问题只需将矩阵转化为二次型再将二次型标准化即可.1.二次型及其矩阵
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