§12? 7 高阶线性微分方程 一二阶线性微分方程举例 例1 设有一个弹簧? 上端固定? 下端挂一个质量为m 的物体? 取x 轴铅直向下? 并取物体的平衡位置为坐标原点? 给物体一个初始速度v0?0后? 物体在平衡位置附近作上下振动? 在振动过程中? 物体的位置x是t的函数? x?x(t)? 设弹簧的弹性系数为c? 则恢复力f??cx? 又设物体
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级一概念的引入解受力分析物体自由振动的微分方程强迫振动的方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程二线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:例如线性无关线性相关特别地:例如2.二阶非齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理三降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无
1第六节 高阶线性微分方程线性微分方程的解的结构小结思考题作业二阶线性微分方程线性(higher-order linearordinary differentialequation)2二阶二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程微分方程形如一、二阶线性微分方程线性微分方程n阶线性关于未知函数及其各阶导数都是一次的n阶微分方程称为n 阶线性微分方程3定理1?证叠加原理一定是通解(1)二、线性微分方
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一线性方程例如线性的非线性的.齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2. 线性非齐次方程讨论两边积分非齐方程通解形式与齐方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.作变换积分
作业
1小结思考题作业一阶线性微分方程利用变量代换求解方程第四节一阶微分方程全微分方程伯努利(Bernoulli)方程2一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式上面方程称为上面方程称为如线性的;非线性的齐次的;非齐次的线性一阶 自由项关于未知函数及未知函数的导数是一次的一阶方程31 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)(C1为任意常数)齐次方程的通解为42 线性非齐次方程线性齐次方
2dxm2 d dub LC2u 例2 设有一个由电阻R自感L电容C和电源E串联组成的电路 其中RL及C为常数 电源电动势是时间t的函数: E?Emsinwt 这里Em及w也是常数. 举例? 对于两个函数? 如果它们的比恒为常数? 那么它们就线性相关? 否则就线性无关? 已知y1=x与y2=ex都是方程(x-1)y??-xy?y=0的解?
四常数变易法 阻力的大小与运动速度(虎克定律)则得强迫振动方程:由电学知化为关于(二阶线性微分方程)但是 n 个函数必需全为 0 ( 无妨设(自证) 的一个特解 因而 ② 也是通解 .都是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解四常数变易法由于有两个待定函数 所以要建立两个方程:故⑤ ⑥的系数行列式将③的解设为 仅知③的齐次方程的一个非零特解 例5.积分得 代入非齐次方程后化简得
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系高阶线性微分方程高阶线性微分方程解的结构高阶常系数线性微分方程的求解高阶变系数线性微分方程的求解2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系1奇次方程一高阶线性微分方程解的结构2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系2非奇次方程2007年8月3南京航空航天大学 理学院
高阶线性微分方程 第六节二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第七章 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图设时刻
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