单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级线性方程组与矩阵秩的若干问题 福建师范大学数计学院代数教研室 肖民卿 2008年10月引言矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的它是矩阵的最重要数字特征之一这里我们结合矩阵与线性方程组的教学讨论以下内容:矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用矩阵秩的
初等列变换不改变A的行秩方法一:例如:设设 A1 是由A中第j1 j2… jr1行和 i1 i2… ir1 列所构成的r1阶子式A中所有的r1及大于r1阶子式都为零设r(A)=s由于s>r≌必要性线性方程组()有解系数矩阵解:解:此时方程组无解由例3看到:当因为而有非零解P127因为Vi是AX=O的解n维向量组V1V2…Vs是 AX=O的一个基础解系线性无关…都是AX=O的解则有为任意常数得n-r
解:称为 矩阵.简称 矩阵.是一个 复矩阵方阵.也可记作(2) 特殊矩阵结束
单击此处编辑母版标题样式西安建大单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第三章 矩 阵的秩和线性方程组的相容性定理第一讲 矩阵的秩初等矩阵第二讲 矩阵的秩的求法和矩阵的标准形第三讲 线性方程组的相容性定理1第一讲 矩阵的秩初等矩阵一引例二矩阵的秩三初等方阵2对齐次线性方程组由于其系数矩阵是奇异方阵而不能直接用克莱姆法则:(3.1)一.引例3应用高斯消元法删去多余方程得(3.2)(3.2)
单击此处编辑母版标题样式一矩阵秩的概念矩阵的秩例1解例2解例3解计算A的3阶子式另解显然非零行的行数为2此方法简单问题:经过变换矩阵的秩变吗证二矩阵秩的求法 经一次初等行变换矩阵的秩不变即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.证毕初等变换求矩阵秩的方法: 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个
行的的第 (3)把矩阵 的左边乘以一个相应的 变换化为单位矩阵.阶可逆阵 的逆阵 同样也可以用初等列变换解决类似问题.例如可由经初等行变换即由求得: 则位于这 阶子式.的最高阶非零子式.施行初等行变换到行阶梯形即解: 先求 的一个最高阶非零子式.为此先求 中第 其中 设自由未知量 令 对一般的 得所以原方程组无解.当
单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级Spring 2011 24ppt第2.3节 向量组与矩阵的秩 如何判断向量组是否线性相关41720221Spring 2011 24ppt41720222Spring 2011 24ppt定义2.6 矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩(rank)记为R(A).则称A为满秩矩阵 否则称A为降秩矩阵. 另外零矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 用初等变换求逆矩阵同理把 r换成 c可定义矩阵的初等列变换.定义 由n阶单位矩阵E经过一次初等变换得例如:等行变换相当于在矩阵A的左边乘相应的 m 阶初等用相应的初等矩阵右乘.用相应的初等矩阵右乘. 矩阵的等价标准型非零行的首非零元所在列的其余元均为零.阶梯形 (续例4)- 23 -- 26 -- 27 -构造分块矩阵(A E)则作3×
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解例41. 矩阵秩的概念思考题 2 解答解① ⑥ 得则在Drr任取一个自由未知量为1其余自由未知量为0得方程组的通解为三小结证定理1<其余 个作为自由未知量例2 求解非齐次方程组的通解解一思考题解答
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