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  二阶线性微分方程解的定理定理4设与分别是方程与的特解则是方程的特解.证将代入方程(1)左端得二阶线性微分方程解的定理二阶线性微分方程解的定理所以是方程(1)的一个特解.这个定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理.例如求方程的特解时可先分别求方程与的特解与从而原方程的特解完

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  函数的线性相关与线性无关定义1设是定义在区间内数.如果存在两个不全为零的常数使得在区间内恒有则称这两个函数在区间内线性相关.否则称线性无关.根据定义可知在区间内两个函数是否线性相关只要看它们的比是否为常数.如果比为常数则它们就线性相关否则就线性无关.例如函数是两个线性相关的函数因为的两个函函数的线性相关与线性无关例如函数是两个线性相关的函数因为函数的线性相关与线性无关例如函数是两个线性相关的函数因

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  二阶线性微分方程解的定理与本章第三节讨论的一阶线性微分方程的解类似二阶甚至更高阶的解定理 3设是方程(1)的一个特解而是其对应的齐次方程(2)的通解则的结构非齐次线性微分方程的通也有同样的结构.二阶线性微分方程解的定理二阶线性微分方程解的定理就是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.证把(3)代入方程(1)的左端得即是方程(1)的解.由于对应齐次方程的通解二阶线性微分方程解的定理通解二阶线性微分方程

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  二阶线性微分方程解的定理定理5设是方程的解其中为实值函数为纯虚数.则与分别是方程与 的解.证由定理的假设有二阶线性微分方程解的定理证由定理的假设有二阶线性微分方程解的定理证由定理的假设有由于恒等式两边的实部与虚部分别相等所以从而证得结论.例如如果已知方程二阶线性微分方程解的定理从而证得结论.例如如果已知方程二阶线性微分方程解的定理从而证得结论.例如如果已知方程的通解为则分别是方程的通解.完

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  二阶线性微分方程解的定理定理 2若与是方程(1)的两个线性无关的特解则就是方程(1)的通解其中是任意常数.证根据定理1知是方程(1)的解因为与线性无关所以其中两个任意常数与不能合并即它们是相互独立的所以是方程(1)的通解.二阶线性微分方程解的定理的所以是方程(1)的通解.二阶线性微分方程解的定理例如 对于方程 容易验证与是它的两个特解又常数所以就是该方程的通解.完的所以是方程(1)的通解.

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  麦克劳林级数时的泰勒级数称为 的麦克劳林级数.注:由上节定理 可知 如果函数 能在某个区间内展开成幂级数则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数.即没有任意阶导数的函函数的麦克劳林级数数是不可能展开成幂级数的.是 的幂级数可以证明如果 能展开成 的麦克劳林级数是 的幂级数可以证明如果 能展开成

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  型微分方程 微分方程的右端不显含未知函数引入参数法求解.设则而原方程化为这是一个关于变量的一阶微分方程.设其通解为代入参数又得到一个一阶微分方程对它进行积分便得原方程的通解完

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  二阶线性微分方程解的定理定理 4设与分别是方程与的特解则是方程的特解.证将代入方程(1)左端得二阶线性微分方程解的定理二阶线性微分方程解的定理所以是方程(1)的一个特解.这个定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理.例如求方程的特解时可先分别求方程与的特解与从而原方程的特解完

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  型微分方程微分方程不明显地含自变量引入参数法求解设则由复合函数的求导法则有这样原方程就化为这是一个关于变量的一阶微分方程.设它的通解为分离变量并积分使得原方程的通解完