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  提供:有基与维数的概念. W是V的子空间由于 是　　的的线性子空间 量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子设称为V的由 生成的子空间2）定理3从而　 可被就是 的一组基 线性子空间是V的一组基即　 线性子空间为 V 的一组基．即在 V 中必定可找到 n－m 个向量假设当n－mk时结论成立. 线性子空间就是

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  例如：xOy平面仍构成（2）W 对加法与数乘满足线性空间定义的八条.的.运算是封闭的那么W就是一个子空间． 数多项式R[x]为一个非平凡子空间． 容易验证命题3 间的证明思路：形是 m 1维的

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  第二讲 线性子空间一线性子空间的定义及其性质定义：设是数域上的线性空间的一个非空子集合且对已有的线性运算满足以下条件如果则如果则则称是的一个线性子空间或子空间 性质：（1）线性子空间与线性空间享有共同的零元素 （2）中元素的负元素仍在中[证明]（1）中的零元素也在中与享有共同的零元素（2） 封闭性 中元素的负元素仍在中分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子

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  故 　　　为V的子空间. 　　　 二子空间的和3推广　　　多个子空间的和 64维数公式 （定理7）所以有 即 12但若③ 18得 对以 　　　　　为列向量的矩阵A作初等行变换　　　 23所以

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  定义 设K是一个数集 如果 则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK 或V. ?=1?=(1k?k)?=1k(k?)=1k?0=0例如 齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U构成解空间我们知道U中所有向量都可以有Ax=0的基础解系表示. 这是线性空间的重要性质. Rm?n是m?n维线性空间 如R2?3的一组基为:

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  §3. 维数.基与坐标复习概念和结论.线性组合：设V是数域P上的线性空间是V中的一组向量是数域P中的数那么向量称为向量组的一个线性组合 或者说向量可以用向量组线性表出等价：设可以互相线性表出则它们称为等价线性相关：线性空间V中如果在数域P中有个不全为零的数使那么向量组称为线性相关

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