例6如图所示解解此微分方程得部分的面积平行于轴的动直线截下的线段与之长数值上等于阴影求曲线两边求导得被曲线故所求曲线为由得完

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级Gyxo二曲线积分与路径无关的定义BA如果对于区域G内的1三. 平面曲线积分与路径无关等价条件定理2. 设D是单连通开区域 在D内具有一阶连续偏导数 (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L 曲线积分(3)(4) 在D内每一点都有与路径无关 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价在

习题十一1．设L为xOy面内直线x=a上的一段证明：其中P(xy)在L上连续．证：设L是直线x=a上由(ab1)到(ab2)这一段 则 L：始点参数为t=b1终点参数为t=b2故2．设L为xOy面内x轴上从点(a0)到点(b0)的一段直线证明：其中P(xy)在L上连续．证：L：起点参数为x=a终点参数为x=b．故3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)其中L是抛物线y=x2上从点(00)到点(2

1.求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积 .解画出草图解得交点为及于是所求绕轴旋转而成的旋转体的体积并由方程组1.求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积 .解于是所求绕轴旋转而成的旋转体的体积1.求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积 .解于是所求绕轴旋转而成的旋转体的体积所求绕轴旋转而成的旋转体的体积完

例9解因所以曲线积分与路径无关因而其中计算作新路径折线为如图所示圆弧段例9解因所以曲线积分与路径无关因而其中计算作新路径折线为如图所示圆弧段例9解因所以曲线积分与路径无关因而其中计算作新路径折线为如图所示圆弧段完

例14设曲线积分与路径无关其中具有连续的导数且计算解因积分与路径无关由由知例14设曲线积分与路径无关其中具有连续的导数且计算解因积分与路径无关由由知例14设曲线积分与路径无关其中具有连续的导数且计算解因积分与路径无关由由知故完

例13设函数在平面上具有一阶连续偏导数曲线积分与路径无关并且对任意总有求解由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.解由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.解由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.由题意可知两边对求导得解由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.由题意可知两边对求导得解由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.由题意可知两边对求导得或所以完

第一类曲线积分的物理意义根据定义若曲线形构件的线密度为则其质量进一步的静力矩于是曲线的重心坐标为容易写出曲线形构件关于轴及轴同样易得到构件对轴及轴及原点的转动第一类曲线积分的物理意义同样易得到构件对轴及轴及原点的转动第一类曲线积分的物理意义同样易得到构件对轴及轴及原点的转动惯量:完

例13设函数在平面上具有一阶连续偏导数曲线积分与路径无关并且对任意总有求解由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.解由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.解由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.由题意可知两边对求导得解由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.由题意可知两边对求导得解由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.由题意可知两边对求导得或所以完

高等数学习题课(第二十八讲)共80学时第十章 曲线积分与曲面积分 上一章已经把积分概念从积分范围为数轴上一个区间的情形推广到积分范围为平面或空间内的一个闭区域的情形．本章将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形(这样推广后的积分称为曲线积分和曲面积分)并阐明有关这两种积分的一些基本内容． 第一节 对弧长的曲线积分 一对弧长

例9解因所以曲线积分与路径无关因而其中计算作新路径折线为如图所示圆弧段例9解因所以曲线积分与路径无关因而其中计算作新路径折线为如图所示圆弧段例9解因所以曲线积分与路径无关因而其中计算作新路径折线为如图所示圆弧段完

单击此处编辑母版标题样式上页下页铃结束返回首页 8-3 格林公式 . 平面第二型曲线积分 与路径无关的条件单连通与多连通区域 设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域.通俗 地说平面单连通区域是不含有洞(包括点洞)的区 域复连通区域是含有洞(包括点洞)的区域. 例如

例14设曲线积分与路径无关其中具有连续的导数且计算解因积分与路径无关由由知例14设曲线积分与路径无关其中具有连续的导数且计算解因积分与路径无关由由知例14设曲线积分与路径无关其中具有连续的导数且计算解因积分与路径无关由由知故完

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级1. 定义2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) L－ 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分内容小结3. 计算? 对有向光滑弧? 对有向光滑弧4. 两类曲线积分的联系? 对空间有向光滑弧? :原点 O

例13求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积.解作草图并求得曲线及的交点坐标分别为及完

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级一问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值二对弧长的曲线积分的概念1.定义被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量2.存在条件：3.推广注意：4.性质 三对弧长曲线积分的计算定理注意:特殊情形推广:例1解例2解例3解例4解由对称性 知四几何与物理意义五小结1对弧长曲线积分的概念2对弧长曲线积分的计

例2计算其中为曲线上从到的一段弧.解化为对的定积分化为对的定积分从变到(2)(1)例2计算其中为曲线上从到的一段弧.解化为对的定积分化为对的定积分从变到(2)(1)例2计算其中为曲线上从到的一段弧.解化为对的定积分化为对的定积分从变到(2)(1)注:易见化为对的定积分计算较为简单.完

习题课一 曲线积分的计算法二曲面积分的计算法线面积分的计算一曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终 计算其中L为圆周提示: 利用极坐标 原式 =说明: 若用参数方程计算则P246 3 (1)P246 3(3). 计算其

1.求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积 .解画出草图解得交点为及于是所求绕轴旋转而成的旋转体的体积并由方程组1.求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积 .解于是所求绕轴旋转而成的旋转体的体积1.求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积 .解于是所求绕轴旋转而成的旋转体的体积所求绕轴旋转而成的旋转体的体积完

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级习题课一 曲线积分的计算法二曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 线面积分的计算 第十章 一曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程 P192 2题结论(2) 确定积分上下限