内容小结利用直角坐标计算二重积分计算二重积分 原则上将其化为二次积分而关键在于确定各定积分的积分限 .(1) 若积分区域为[X–型](2) 若积分区域为[Y–型]内容小结(2) 若积分区域为[Y–型]内容小结(2) 若积分区域为[Y–型](3) 具体计算时首先应画出积分区域的草图帮助确定各定积分的上下限其次要恰当选择积分次序以使计算更简单 .完

单击以编辑母版标题样式单击以编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级目录 上页 下页 返回 结束 三二重积分的换元法 第二节一利用直角坐标计算二重积分 二利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 且在D上连续时 由曲顶柱体体积的计算可知 若D为 X - 型区域 则若D为Y - 型区域则一利用直角坐标计算二重积分当被积函数均非负在D上变号时因此上面讨论的累

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质解法: 类似定积分解决问题的思想:一引例1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底： xoy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.分割近似 求和 逼近 1)分割用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分

1利用直角坐标系计算二重积分第二节 二重积分的计算法第八章 重积分二重积分的奇偶对称性小结　思考题 作业利用极坐标系计算二重积分2本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为累次积分(即两次定积分).二重积分的计算法(二次积分)3(1) 积分区域为：其中函数 X－型在区间 上连续.二重积分的计算法一利用直角坐标系计算二重积分X－型区域的特点：垂直于x轴且

多元函数积分学§7.1 二重积分(甲) 内容要点一在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题模型I：设有界闭区域 其中在上连续在 上连续则模型II：设有界闭区域 其中在上连续在上连续 则 关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II把二重积分化为累次积分从而进行计算对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求又不符合模型II中关于D的要求那么就需要把

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级二重积分习题课应用数理学院应用数学学科部(Advanced Mathematics)高等数学习题课?CSM?yz x0?P11第九章 重积分二重积分习题课21二重积分的定义3２二重积分的几何意义当被积函数大于零时二重积分是曲顶柱体的体积．当被积函数小于零时二重积分是曲顶柱体的体积的负值．4性质１当 为常数

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级二 重 积 分习题课(8)课件制作：于红香 全志勇 二 作业讲析三 典型例题讲解四 练习题一 内容总结一 内容总结二重积分定义(留意几何背景及物理背景)性质(六条性质)计算方法直角坐标法极坐标法一般换元法重积分计算的基本技巧一选择积分次序不仅要考虑区域的形状还要考虑被积函数的特点二善用对称性及重心公式来简化二重积

第一节 二重积分的概念与性质一内容要点1引例例1曲顶柱体的体积例2平面薄片的质量通过两个实际意义不同的例子引出所求量可归结为同一形式的和式的极限进而一般地抽象出二重积分的定义2二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个任意性及和式极限中各符号的意义3二重积分的性质1-6注意将其与定积分性质加以比较例3关于估值定理的应用例4关于中值定理的应用4二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积二教学要求和注意点

例3计算二重积分其中 是由抛物线及直线 所围成的闭区域.解如图既是 型也是 型.但易见选择前者计算较麻烦需将积分区域划分为两部分来计算择后者.故选例3计算二重积分其中 是由抛物线及直线 所围成的闭区域.解如图既是 型也是 型.但易见选择前者计算较麻烦需将积分区域划分为

1.当是面内的一个闭区域时曲面积分与二重积分有什么关系 解此时为面内的闭区域当取上侧时取正号可见当为时第二类曲面积分便成为二重积分.取下侧时取负号 .当完

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第四节 二重积分的概念与性质二重积分的引入二重积分的概念二重积分的性质=底面积×高特点：平顶.=特点：曲顶.2．曲顶柱体的体积一问题的提出1．平顶柱体的体积二二重积分的概念1．什么是曲顶柱体 显然平顶柱体的体积=底面积×高而曲顶柱体的体积不能直接用上式计算那么怎样来计算呢 以 xoy 平面的有界闭区域D

1.当是面内的一个闭区域时曲面积分与二重积分有什么关系解记则曲面积分 称为平面区域上的二重积分即有完

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级第二节 二重积分的计算一. 直角坐标系下二重积分的计算二. 极坐标系下二重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学目标掌握在直角坐标系下 x - 型区域和 y - 型区域的二重积分计算方法.2. 利用极坐标计算二重积分. 3. 掌握二重积分交换积分次序的方法.4. 二重积分的换元法.机

例3计算二重积分其中 是由抛物线及直线 所围成的闭区域.解如图既是 型也是 型.但易见选择前者计算较麻烦需将积分区域划分为两部分来计算择后者.故选例3计算二重积分其中 是由抛物线及直线 所围成的闭区域.解如图既是 型也是 型.但易见选择前者计算较麻烦需将积分区域划分为

返回后页前页对应有二利用极坐标计算二重积分在极坐标系下 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外小区域的面积在内取点及射线 ? =常数 分划区域D 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 即机动 目录 上页 下页 返回 结束 设则特别 对机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f ≡1 则可求得D 的面积思考: 下列各图中域 D 分别

例3计算二重积分其中积分区域为解由对称性可只考虑第一象限部分完注意到被积函数也有对称性则有

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级二利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式(１)区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式(２)区域特征如图极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式(３)区域特征如图解解解解例5 求由球面x2y2z2=4a2与柱面x2y2=2ay所围立体的体积解： 计算第一挂限部分体积xyoxyz解∵ D=2D1例7

1.将二重积分定义与定积分进行比较相同之处与不同之处 .完找出它们的2.试用二重积分表示极限练习

前页结束后页章单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算第8章 多元函数积分学结束 若有一个柱体它的底是Oxy平面上的闭区域D它的侧面是以D 的边界曲线为准线且母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面z=f(xy)设 f(xy)≥0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.引例1 曲顶柱体的体积.8.1.1 二重积分的概念8.1

例3计算二重积分其中是由曲线所围成的平面区域.解以1为半径的圆域积分区域是以点(10)为圆心如图.其边界曲线的极坐标方程为于是区域的积分限为所以例3计算二重积分其中是由曲线所围成的平面区域.解以1为半径的圆域积分区域是以点(10)为圆心如图.所以例3计算二重积分其中是由曲线所围成的平面区域.解以1为半径的圆域积分区域是以点(10)为圆心如图.所以完