对立统一正难则反——数学破题技法(六)哲学上有个矛盾概念所谓矛盾即事物自身包含的既对立又统一的关系简言之矛盾就是对立统一也就是说矛盾双方你中有我我中有你相互包含相互贯通在一定条件下矛盾双方可以相互转化这里关键在于条件有了条件矛盾双方有了转化的可能数学上的正难则反就是一种转化既然正面遇上困难那就回头是岸向反方向走去比如：与排列组合概率有关的试题往往应走正繁则反的道路而一切否定式的命题则应首选反

第一讲 解题的策略★策略一 正难则反——从反面情况考虑在解题时当用一般的正向思维受阻时不妨改变思维方向即从结论或条件的反面进行思考从而使问题得到解决也就是所谓的正难则反正难则反是一种重要的解题策略将它灵活使用能使许多难题趣题和生活中的问题获得巧解如在求阴影面积的时候如果遇到直接无法求解阴影面积的情况我们可以欲阴影则空白(即求出总面积与空白部分面积相减即可)在推理时正面推不出结论可从反面着手由

运用正难则反的补集思想解题 例1 已知A={xx2(k2)x1=0x∈R}若A∩R= 求k的取值范围解析：若从正面直接求k的范围则有三种情况分别求出较繁而通过补集来求解则极为简捷因为方程x2(k2)x1=0的根不可能为零且两根必定同号故A∩R≠ 的条件是⊿=(k2)2-4≥0x1x2=-(k2)>0 解得k≤-4所以当A∩R= 时k的取值范围是k>-4?例2.若关于方程a

第二十九讲 由正难则反切入 人们习惯的思维方式是正向思维即从条件手进行正面的推导和论证使问题得到解决．但有些数学问题若直接从正面求解则思维较易受阻而正难则反顺难则逆直难则曲是突破思维障碍的重要策略． 数学中存在着大量的正难则反的切入点．数学中的定义公式法则和等价关系都是双向的具有可逆性对数学方法而言特殊与一般具体与抽象分析与综合归纳与演绎其思考方向也是可逆的作为解题策略当正向